Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Indikatorfunktion - kein Argument drin - Bedeutung

Indikatorfunktion - kein Argument drin - Bedeutung

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Folge, Indikatorfunktion, Konvergenz, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Zufallsvariablen

FragenCookie aktiv_icon

21:36 Uhr, 05.07.2016

Hallo!
Ich rästel schon seit einer Weile an einer Aufgabe.
Gegeben sind

Ω = [0, 1], ℱ = ℬ ([0, 1]), P (d x) = 1_{[0, 1]} (x) d x

α \in ℝ, n \in ℕ, n = 2^{k} + m, k \in ℕ_{0}, m \in {0, . . ., 2^{k} - 1}

Dann ist noch die Zufallsvariable

X_{n}

gegeben, die so definiert ist:

X_{n} = k^{α} 1_{[m / 2^{k}, (m + 1) / 2^{k}]}

Meine Frage dabei ist, ich kenne normalerweise Indikatorfunktionen mit einem Argument, also

1_{A} (x)

, also wenn

x \in A

dann kommt 1 raus, und sonst 0. Was mache ich dann mit der Indikatorfunktion OHNE Argument?

Hier muss man die Konvergenz von

X_{n}

für

n \to \infty

checken, aber wie soll man dann checken, was passiert?
Meine Idee wäre:
Die Menge, für die die Indikatorfunktion beschrieben ist, ist höchstens 1 und die untere Grenze ist 0, das weiß ich aus der Definition von

m

und

k

, denn wenn

m = 0

, dann ist die untere Grenze 0. Für

m + 1 = 2^{k}

ist die obere Grenze 1.
Kann ich die Indikatorfunktion dann so verstehen:

k^{α}

ist nur kleiner als 1, wenn

α

kleiner 1 und

k

klein genug, und dann wäre man im Intervall von der Indikatorfunktion

\to

wir haben eine 1.
Aber es gibt mehr Zahlen, die größer 1 sind, weil

k

und

α

nur irgendwelche Zahlen sind, dann wäre die Indikatorfunktion 0, und da die 0 öfter vorkommt, geht die Folge von Zufallsvariablen gegen 0.
Die Lösung sagt, es konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen 0.
Interpretiere ich die Indikatorfunktion so richtig?
Sonst steht kein

n

in der Definition der Folge von Zufallsvariablen, und anders kann ich es mir nicht vorstellen..
Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."