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Induktion

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Clemens57 aktiv_icon

10:24 Uhr, 01.08.2020

Hi,

kann mir jemand erklären was getan wurde um auf das gelb markierte zu kommen?
Vielen Dank,

Mit freundlichen Grüßen,

Clemens

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

e60lukas

10:41 Uhr, 01.08.2020

Hallo,
setz mal deinen gelben Pfeil einen Summanden weiter rechts.
Da wo du den Pfeil derzeit ansetzt ist ja lediglich die Induktionsannahme - und diese ist ja klar.
LG
EL

pwmeyer aktiv_icon

14:07 Uhr, 01.08.2020

Hallo,

evtl. ist unklar, dass für eine Konstante

c

gilt:

\sum_{k = 0}^{n - 1} c = n \cdot c

Gruß pwm

Clemens57 aktiv_icon

14:59 Uhr, 01.08.2020

In der Tat ist mir das unklar. Sehs' ehrlich gesagt zum ersten Mal. Vielen Dank

N8eule

11:26 Uhr, 02.08.2020

Hallo
Aus dem Scan-Ausschnitt ist nicht ersichtlich, ob du die Methode der vollständigen Induktion nutzen MUSST.
Viel leichter fände ich den Weg über:

\sum (n + k) \cdot (n - k) = \sum (n^{2} - k^{2}) = \sum [n^{2}] - \sum k^{2} = n^{3} - \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} = . .

Clemens57 aktiv_icon

12:33 Uhr, 02.08.2020

Hi,
müsste ich dann zeigen
IV:

\exists n \in N

\sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} = n^{3} - \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{6}

IB:

\sum_{k = 0}^{n} k^{2} = (n + 1)^{3} - \frac{(n + 1) (n + 2) (4 n - 3)}{6}

Und IS

\sum_{k = 0}^{n} k^{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} + n^{2}

Und somit

(n + 1)^{3} - \frac{(n + 1) (n + 2) (4 n + 3)}{6} = n^{2} + n^{3} - \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{6}

oder ist bei IS was schief gelaufen?
Verstehe die 3.Zeile der Musterlösung rechts nicht

N8eule

12:46 Uhr, 02.08.2020

Ja, je nachdem, was du verwenden sollst, oder willst oder musst.
Man darf sich ggf. sicher auch daran erinnern, dass

\sum k^{2}

doch sicher ein Standard-Fall ist, der in der Formelsammlung steht...

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