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Induktion: Zeile im Pascalschen Dreieck = 2^n
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Binomialkoeffizient
 
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Hey, ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion. Ich soll beweisen, dass die Summe einer Zeile im Pascalschen Dreieck ist. Dazu habe ich schon vollgendes herausgefunden (Bild) Reicht das als Beweis oder muss ich noch beweisen wie ich auf die vorletzte Zeile kam? Ich weiß nämlich nicht so ganz wie ich es anders begründen kann, bzw wie ich diesen Zwischenschritt noch begründen kann... |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Dateianhänge dürfen nur eine Maximalgröße von 500 kB haben. PS: Ist ein Induktionsbeweis explizit gefordert, oder war das nur deine Wahl, weil du keine andere Idee hattest? Ohne Induktion ist der Beweis ein Einzeiler... |
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Das erklärt einiges... Ich hoffe mal das es jetzt funktioniert. Es geht quasi darum wie ich diesen Zwischenschritt beweise oder ob das genügt.  |
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In der Induktion voraussetzung habe ich bereits geklärt das, Die Summe der Klammer von über bis über ist. Es geht mir um den Schritt von Zeile 1 auf Zeile 2 |
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Dieser Schritt ist Müll. Du benötigst als Argument u.a. die (bekannte?) Beziehung Und nochmal: MUSS es Induktion sein? |
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Ja ich kenne zwar die Beziehung aber ich glaube das ist garnicht nötig. Denn in der Aufgabenstellung ist vorgegeben das das Pascalsche Dreieck 0 als Spitze hat und sich mithilfe der 1 bildet. Also wieso muss ich es mir dann kompliziert machen und 1 durch ersetzen wenn ich das Dreieck doch bereits kenne. Ich weiß doch dadurch das die Zahlen der n-ten Zeile auch exakt Stellen haben muss oder nicht? Aufgabenstellung folgt  |
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Die Grundidee im Induktionsschritt ist eigentlich, dass sich gemäß Bildungsregel des Pascalschen Dreiecks jeder Wert der Zeile zweimal als Summand in Werten der Zeile wieder findet. Somit muss dann auch die Gesamtsumme der Werte der Zeile gleich der doppelten Summe der Zeile sein. |
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Das war ja meine Intention mit der Rechnung im ersten Bild. Da ich mir aber dachte das das mathematisch nicht ganz korrekt ist möchte ich ja den Sinn der Rechnung verstehen. Also wie man darauf kommt. |
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> Also wie man darauf kommt. Wie man WORAUF kommt? Die Bildungsregel des Pascalschen Dreiecks sehe ich hier mal als benutzbare Voraussetzung an, da gibt es nichts "drauf zu kommen". Ich sehe es nicht als Sinn und Zweck dieser Aufgabe an, die Bildung des Pascalschen Dreiecks zu hinterfragen. |
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Genau das: dass sich gemäß Bildungsregel des Pascalschen Dreiecks jeder Wert der Zeile zweimal als Summand in Werten der Zeile wieder findet. Ich weiß ja auch das es stimmt aber ich verstehe leider nicht wie ich das beweisen soll. |
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Wir drehen uns im Kreis. Jedes Element geht als Summand sowohl in das Element "halblinks" unten als auch in das Element "halbrechts" unten in der nächsten Zeile ein - damit ist die Sache für mich "bewiesen". Warum du das nicht akzeptierst, steht für mich in den Sternen. |
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" Jedes Element geht als Summand sowohl in das Element "halblinks" unten als auch in das Element "halbrechts" unten in der nächsten Zeile ein - damit ist die Sache für mich "bewiesen". " Klingt nach einem richtig "sauberen" Induktionsbeweis. (Sheldon würde jetzt fragen: "Sarkasmus?") |
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Hallo, ich halte das Argument von HAL9000 für absolut klar und nicht verbesserungsfähig. Es ist ein vollständiger Induktionsbeweis, den man bestenfalls noch bis zur Unkenntlichkeit aufblähen könnte. Gruß ermanus |
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> Es ist ein vollständiger Induktionsbeweis Das ist natürlich etwas übertrieben, dargelegt habe ich ja nur die Basisidee des Induktionsschrittes. Worauf es mir ankam: Es ist hier für diese Behauptung überhaupt nicht nötig, sich mit Struktur der Binomialkoeffizienten und dem Gedöns groß auseinanderzusetzen - es reicht die schlichte Konstruktionsidee des Pascalschen Dreiecks für diese Summenbetrachtung zu nutzen. Und damit kann man das von ermanus erwähnte "Aufblähen" vermeiden. |
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Danke, habe es nun verstanden |
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" es reicht die schlichte Konstruktionsidee des Pascalschen Dreiecks für diese Summenbetrachtung zu nutzen." Und der exakte mathematische Hintergrund für die "Konstruktionsidee" steht in meinem Post von 12:30 Uhr, 17.07.2019. Abgesehen davon kommen noch die beiden "Einsen vom Rand" dazu. Wir sind (nein: ihr seid) noch weit entfernt von einem Induktionsbeweis, der dem kritischen Blick des korrigierenden Profs standhält. Aber lasst den Fragesteller ruhig sehenden Auges auflaufen. Ihr habt ja nicht den Schaden. |
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@abakus Ich weiß nicht, warum du so angepisst bist - vermutlich liegt es an grundverschiedenen Ansichten darüber, wie das Pascalsche Dreieck definiert ist: 1) Du vertrittst offenbar die Meinung, dass das aus Binomialkoeffizienten aufgebaut ist, und die Bildungsregel daraus erst bewiesen werden muss. 2) Ich vertrete die umgekehrte Sichtweise: Primär ist diese rekursive Bildungsregel - dass daraus dann Binomialkoeffizienten entstehen, ist gemäß dieser Sichtweise dann nur eine Folgerung. Da ist es wohl an Gzillz zu entscheiden, mit welcher Definition er das Pascalsche Dreieck kennengelernt hat, und muss dann dementsprechend seinen Beweis ausrichten. |
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