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Induktion und Zahlenmauern

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Induktion

Hiho12345 aktiv_icon

12:54 Uhr, 08.11.2023

Hallo ich habe mal eine Frage und zwar:
Zahlenmauern sind ein Aufgabentypus in Mathematikbüchern der Grundschule.
Wir sollen für jede natürliche Zahl

n

den Spitzwert einer Zahlenmauer, deren untere Reihe aus

n

Steinen besteht und ausschließlich aus Einsen beschriftet ist. Begründen Sie diese Angaben mit Hilfe mathematischer Induktion.

Also mein Ansatz war, dass ich erstmal geschaut habe welcher Spitzenwert herauskommt wenn ich die Anzahl an

n = 1

Spitzenwert= 1

n = 2

Spitzenwert= 2

n = 3

Spitzenwert= 4

n = 4

Spitzenwert= 8

n = 5

Spitzenwert=

16

n = 6

Spitzenwert=

32

. .

.
ist es richtig, dass es dann

2^{n - 1}

aber wie begründet man das mit Hilfe der Induktion?

Danke für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

13:03 Uhr, 08.11.2023

Zeige einfach eine geringfügig erweiterte Behauptung:

"Ist in der Grundreihe

n

-mal Wert

a

, dann in der Spitze der Wert

a \cdot 2^{n - 1}

."

Induktionsanfang

n = 1

sollte klar sein.

Im Induktionsschritt

n \to n + 1

rechnest du die Reihe über der Grundreihe aus:

Aus

(n + 1)

-mal Wert

a

wird

n

-mal Wert

a + a = 2 a

. Jetzt betrachtest du diese Reihe als Grundreihe und wendest auf die die Induktionsvoraussetzung an mit

n

-mal Grundreihenwert

\tilde{a} = 2 a

...

Hiho12345 aktiv_icon

13:07 Uhr, 08.11.2023

Braucht man nicht am Anfang eine Summe und die soll gleich irgendwas anderem sein?
So hatten wir das bisher nur.
Also die Summe vonn...=

a \cdot 2^{n - 1}

HAL9000

13:08 Uhr, 08.11.2023

> Braucht man nicht am Anfang eine Summe und die soll gleich irgendwas anderem sein?

Das ist eine sehr eingeschränkte Sicht der Vollständigen Induktion. Da kannst du hier bei dieser Aufgabe mal deinen Horizont erweitern.

Hiho12345 aktiv_icon

13:16 Uhr, 08.11.2023

Okay aber dann verstehe ich deine Aussagen oben nicht

Also ich verstehe den Teil mit

2 a

und so weiter nicht

HAL9000

13:41 Uhr, 08.11.2023

Ok, nochmal ganz ganz ganz ganz langsam (wodurch der Beweis hübsch zerredet wird). Die nachzuweisende Aussage ist:

Sei

a

eine BELIEBIGE reelle Zahl. Besteht die Grundreihe aus

n

-mal Wert

a

, dann steht in der Spitze der Mauer der Wert

a \cdot 2^{n - 1}

.

Beweis durch vollständige Induktion über

n

:

Induktionsanfang

n = 1

: Der eine Grundmauernwert

a

ist dann auch gleich die Mauerspitze mit Wert

a \cdot 2^{1 - 1} = a \cdot 2^{0} = a

, stimmt.

Induktionsvoraussetzung: Sei

a

eine BELIEBIGE reelle Zahl. Besteht die Grundreihe aus

n

-mal Wert

a

, dann steht in der Spitze der Mauer der Wert

a \cdot 2^{n - 1}

.

Induktionsbehauptung: Sei

b

eine BELIEBIGE reelle Zahl. Besteht die Grundreihe aus

(n + 1)

-mal Wert

b

, dann steht in der Spitze der Mauer der Wert

b \cdot 2^{n}

.

Induktionsschritt

n \to n + 1

:

Für die Grundreihe bestehend aus

(n + 1)

-mal Wert

b

rechnet man die direkt darüber liegende Reihe aus. Die besteht aus Werten

b + b = 2 b

, und zwar genau

n

Stück (nämlich genau ein Wert weniger als in der Grundreihe).

Da die Spitze der Mauer über der Grundreihe dieselbe ist wie der der Mauer über der eben berechneten ersten Reihe, muss natürlich auch derselbe Spitzenwert herauskommen. Wir wenden nun auf die erste Reihe mit den

n

jeweils gleichen Werten die Induktionsvoraussetzung an, d.h. auf den Wert

a = 2 b

. Dann sagt die Induktionsvoraussetzung, dass der Spitzenwert

a \cdot 2^{n - 1}

ist, was umgeformt

a \cdot 2^{n - 1} = 2 b \cdot 2^{n - 1} = b \cdot 2^{n}

ergibt, womit die Induktionsbehauptung bewiesen ist und der Induktionsschritt komplett ist.

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Und wenn du dann doch mal darüber nachdenkst kriegst du auch raus, warum ich die Behauptung in dieser Weise aufgebohrt habe, d.h. nicht nur den Fall

a = 1

betrachtet habe.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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