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Induktions-Beweis

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Tags: Induktionsbeweis

 
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jpmathe

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16:26 Uhr, 26.02.2023

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Hallo zusammen,

folgenden zwei Induktionsbeweise bereiten mir Schwierigkeiten:

1) Sei a1=2 und an+1=2-1an für alle n. Es gilt: an=n+1n.
Hier verstehe ich nicht, was konkret zu beweisen ist.


2) 15(4n-(-1)n) für alle n
Hier komme ich bei dem Induktionsschritt nicht weiter, das ich nicht weiß, wie ich die Induktionsvoraussetzung nutzen kann.

Vielen Dank im Voraus!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

18:32 Uhr, 26.02.2023

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Hallo,

ok, die Folge (A-n)n* ist rekursiv(!) definiert durch a1:=2 und an+1:=2-1an.
ist?
Du sollst beweisen, dass die explizite Formel an:=n+1n gilt.
Ja, dafür eignet sich das Beweisverfahren der vollständigen Induktion.

> Hier komme ich bei dem Induktionsschritt nicht weiter, das ich nicht weiß, wie ich die Induktionsvoraussetzung nutzen kann.
Und ich sehe noch nicht einmal eine vollständige Aufgabenstellung.

Geht es darum zu beweisen, dass 5 ein Teiler von (4n-(-1)n) für alle n (oder für alle n*?) ist?

Ja, auch da ist die vollständige Induktion geeignet.
Verwende in dem Fall für den Induktionsschritt, dass 4n+1-(-1)n+1=44n-(-1)(-1)n.
Wenn du nun prüfen willst, dass der Term durch 5 teilbar ist, kannst ungeniert Vielfache von 5 addieren/subtrahieren, ohne die Teilbarkeit zu ändern.
Betrachte 44n-(-1)(-1)n+5(-1)n.
Forme den letzten Term geeignet um, um die Induktionsvoraussetzung verwenden zu können.

Übrigens kann man den Beweis, dass (an-bn) durch (a-b) teilbar ist, auch ohne konkrete Werte für a und b ganz allgemein führen. Dann wird der oben genannte Gedanke aus meiner Sicht deutlicher.

Kommst du von hier an allein zurecht?

Mfg Michael
jpmathe

jpmathe aktiv_icon

19:23 Uhr, 27.02.2023

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
2a) habe ich nun sehr gut hinbekommen.

Bei 2b) bin ich mir immer noch nicht sicher.
IV: n:15(4n-(-1)n)
Ist dies überhaupt eine richtige IV???

IS: 15(4n+1-(-1)n+1)=15(4n×4-(-1)n×(-1)) ist klar, aber wie soll ich hier jetzt die IV nutzen?

Mit freundlichen Grüßen
JP

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michaL

michaL aktiv_icon

19:45 Uhr, 27.02.2023

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Hallo,

ok, wir nennen den Term 4n+(-1)n mal mit Tn.

Es gilt also: 5Tn+15Tn+1+5(1)n=4Tn
Und genau das letzte Gleichheitszeichen solltest du eigentlich allein gefunden haben...

Mfg Michael
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HAL9000

HAL9000

08:24 Uhr, 28.02.2023

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Auch möglich bei der zweiten Aufgabe - wenn auch nicht kürzer, so doch von der Idee her interessant: Solche Linearkombinationen von Exponentialfunktionen kann man als Lösungen linearer Differenzengleichungen ansehen, wobei man die Gleichung rückwärts aus der Lösung konstruieren kann. Im vorliegenden Fall besitzt diese die charakterische Gleichung 0=(λ-4)(λ+1)=λ2-3λ-4.

Das bedeutet, dass Folge an=4n-(-1)n5 Lösung der linearen Differenzengleichung an=3an-1+4an-2 ist, mit den Startwerten a0=0 sowie a1=1. Aus der Iterationsgleichung sowie den beiden ganzzahligen Startwerten folgt dann automatisch an für alle n0.

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