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Induktionsanfang unwahr

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Tags: Induktion, Induktionsanfang, Induktionsschritt

Danny.kl aktiv_icon

17:28 Uhr, 30.09.2015

Hallo Leute,

habe mal wieder ne Frage, diesmal aber eigentlich nur ganz kurz.
Liege ich mit der Annahme, dass wenn der Induktionsanfang (mit zB1) nicht klappt, die Behauptung verworfen werden kann, richtig?

zB.

n + 1 < 2^{n}

für

n = 1

2 < 2 \to

stimmt nicht, denn

2 = 2

und nicht

2 < 2

.
Jetzt brauche ich nicht weiter zu machen oder? Oder muss ich weiter rechnen und ab Ende sagen, element der natürlichen Zahlen ohne

{1}

?

Wenn ich hier den Beweis durchführen wollte, wie würde ich vorgehen, was bekomme ich raus?

(n + 1) + 1 < 2^{n + 1} \to 2^{n + 1} = 2^{n} + (n + 1)

Für mich sieht es jetzt so aus, als wäre

2^{n + 1}

einfach ungleich

2^{n} + (n + 1)

und somit ist die Behauptung falsch.
Auch auf der rechten Seite:

n + 1 + (n + 1) = 2 n + 2

ungleich

(n + 1) + 1 = n + 2

Sind meine Annahmen richtig oder habe ich etwas falsch gemacht? Oder sind meine Annahmen richtig, habe aber trotzdem etwas falsch verstanden?

Danke schonmal!

DrBoogie aktiv_icon

18:04 Uhr, 30.09.2015

"Oder muss ich weiter rechnen und ab Ende sagen, element der natürlichen Zahlen ohne {1}?"

Ja, Du musst einen anderen Induktionsanfang nehmen. In diesem Fall

n = 2

. Allgemein kann es eine beliebige Zahl sein.

Danny.kl aktiv_icon

18:51 Uhr, 30.09.2015

Sagen wir ich nehme

n = 2

.

So ist

n + 1 = < 2^{3}

also

3 < 8 \to

wahr

nun der Induktionssdchritt bei dem ich ja in

2^{n}

für

n = n + 1 (2^{n + 1})

setze und schaue ob

2^{n} + (n + 1)

sich zu

2^{n + 1}

umformen lässt.
und das bekomme ich nicht hin, siehe erster Post.

DrBoogie aktiv_icon

19:11 Uhr, 30.09.2015

Zuerst mal bekommst Du bei

n = 2

nicht

3 < 8

, sondern

3 < 4 = 2^{2}

.
Wenn jetzt

n + 1 < 2^{n}

erfüllt ist, dann
haben wir

(n + 1) + 1 < 2^{n} + 1 < 2^{n} + 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1}

, was den Induktionsschritt beweist.
Ich kann

1 < 2^{n}

nutzen, weil es für alle

n > 1

trivialerweise erfüllt ist.

Roman-22

19:16 Uhr, 30.09.2015

⋆ \cdot

Deleted

⋆ \cdot

R

Danny.kl aktiv_icon

20:21 Uhr, 30.09.2015

Danke erstmal für die Antwort. Habs aber noch nicht ganz verstanden.
hab ausversehen

n^{3}

statt

n^{2}

oeben eingetippt und dann unten übernommen.

(n + 1) + 1 < 2^{n} + 1 \to

meinst du

2^{n + 1}

? (klammern um

(n + 1))

Falls ja, wie komme ich auf

2^{n + 1} < 2^{n} + 2^{n}

falls nein, wie komme ich auf

(n + 1) + 1 < 2^{n} + 1

?

von

2^{n} + 2^{n} = 2^{n + 1}

is mir wiederum klar.

DrBoogie aktiv_icon

20:30 Uhr, 30.09.2015

"meinst du"

Nein. Ich meine

2^{n} + 1

.
Du hast nach Induktionsannahme

n + 1 < 2^{n}

. Addiere

1

zu beiden Seiten
und Du bekommst

(n + 1) + 1 < 2^{n} + 1

Danny.kl aktiv_icon

21:34 Uhr, 30.09.2015

Ich glaube ich verstehe es jetzt. Aber ich bin mir unsicher.

Bis jetzt haben wir die Induktion nur bei "Folgen" gemacht. zB Summe von k=1bis

n

von

k^{n} = . .

.
Da es sich hier aber nicht um einen Aufsummierung handelt musst du nur

+ 1

statt

(n + 1)

addieren.

Wenn das tatsächlich so ist wie ich mir das jetzt denke, bin ich schonmal ein ganzes Stück weiter und du müsstest mir nur noch erklären wie du auf

2^{n} + 1 < 2^{n} + 2^{n}

kommst.

Vielen Dank für deine Mühe!

DrBoogie aktiv_icon

21:57 Uhr, 30.09.2015

Ich habe doch schon geschrieben, dass

1 < 2^{n}

für alle

n > 1

gilt.
Daraus folgt natürlich

2^{n} + 1 < 2^{n} + 2^{n}

. Weiß Du nicht, dass aus

a < b

immer

a + c < b + c

folgt?

Was Induktion angeht, so versteht Du sie wohl nicht richtig. Es geht bei Induktion nicht um Folgen oder Aufsummierung. Es geht um eine allgemeine Aussage

A (n)

, die für alle natürliche

n

ab bestimmter Zahl

n_{0}

gilt. Und der Beweis besteht in zwei Schritten: 1. Induktionsanfang, da zeigt man

A (n_{0})

. 2. Induktionsschritt. Da zeigt man

A (n) = > A (n + 1)

.
Was für Aussage

A (n)

ist, ist dabei nicht relevant, es kann alles mögliche sein.

Lese vielleicht noch das hier:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion:_Beispiele

Danny.kl aktiv_icon

22:49 Uhr, 30.09.2015

Danke. Die Aufgabe habe ich jetzt verstanden.

Was ich meinte ist, dass ich bis jetzt in der Vorlesung immer die gleiche Vorgehensweise hatte.
Und das war ziemlich genau diese hier: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vollständige_Induktion

Wir hatten bis jetzt auch nur eine kurze Vorlesung mit 2 Beispielen dazu. Ich glaube das Ziel der Aufgabe war, einfach zu sehen, dass

n + 1 < 2^{n}

eben nicht für alle

N

gilt, sondern nur für

n > 1

. Denn in der Aufgabe stand:
Zeige, dass gilt,

... . .

. für alle

n

Element von

N

(und 1 ist ja Element von

N)

Immerhin bin ich jetzt etwas schlauer. Ich werde wohl noch viel üben müssen :-)

Danke!

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