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Induktionsbeweis mit 2 Variablen

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktionsbeweis, mehrere Variablen

mueschbrot aktiv_icon

18:46 Uhr, 27.05.2016

Hallo! Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiß, wie ich vorgehen soll:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Für alle reellen Zahlen

h

mit

h

∈ (−1, ∞) ohne

{0}

gilt:

{(1 + h)}^{n} > 1 + n \cdot h,

für

n

≥ 2.

Muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?

IA:

h = - 1, n = 2

{(1 - 1)}^{2} > 1 - 2 \to 0 ≻ 1 W . A

h = - 1, n = 3

0 ≻ 2 W . A

h = 1, n = 3

8 > 4 W . A

h = 1, n = 2

4 > 3 W . A

.

IV:

n = k

h = l

{(1 + l)}^{k} > 1 + k \cdot l

IB:

1.Fall:

n

läuft weiter

\to n = k + 1

h = l

{(1 + l)}^{k + 1} > 1 + l \cdot (k + 1)

1^{k + 1} + l^{k + 1} > 1 + l \cdot k + l

1 + l^{k + 1} > 1 + l \cdot k + l

2.Fall

n = k

h = l + 1

{(1 + l + 1)}^{k} > 1 + k \cdot (l + 1)

1^{k} + l^{k} + 1^{k} > 1 + k \cdot l + k

l + 2 > 1 + k \cdot l + k

3.Fall:

n = k + 1

h = l + 1

{(1 + l + 1)}^{k + 1} > 1 + (l + 1) \cdot (k + 1)

2 + l^{k + 1} > 1 + l \cdot k + l + k + 1

hmmm und nun? Ich weiß nicht, wie ich weiter vorgehen kann...

\frac{:}{}

Ich danke euch schon für mögliche Antworten und wünsche euch noch ein schönes Wochenende :-)

Liebe Grüße
Mueschbrot

Apilex aktiv_icon

19:46 Uhr, 27.05.2016

Wichtig ist erstmal das dein

h \in R

ist und deshalb Induktion über

h

keinen Sinn macht

\Rightarrow

nur Induktion über

n

.
Verwende

h

einfach durch

h > - 1

und schätze die Formel mit

h

einfach über die Formeln mit

- 1

ab.

Falls das als Tipp noch nicht reicht komm noch ein paar weitere. Versuch es aber erstmal damit.

mueschbrot aktiv_icon

19:55 Uhr, 27.05.2016

hmmm... ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe... aber meinst du, dass ich

h = - 1

setzen soll?

Dann hätte ich im Grunde:

1.

{(1 - 1)}^{n} > 1 + n \cdot (- 1)

und

2.

{(1 - 1)}^{n + 1} > 1 + (n + 1) \cdot - 1

1^{n + 1} - 1^{n + 1} > - n

0 > - n

??

Kann sein, dass ich total falsch bin

: c

Liebe Grüße
Mueschbrot

ledum aktiv_icon

20:26 Uhr, 27.05.2016

Hallo
wirklich

h

ist irgendeine Zahl

≻ 1

also nicht einzelne

h

betrachten. sondern mit

n = 2

anfangen und zeigen

{(1 + h)}^{2} > 1 + 2 \cdot h

dann setzt deine Induktion ein richtig für

n

daraus richtig für

n + 1

und nochmal für

h

nichts einsetzen (höchstens irgendeine Zahl um dich selbst zu überzeugen dass die Behauptung stimmt.
du hast wirklich nur eine normale Induktion und nicht über 2 Variable.
Gruß ledum

Apilex aktiv_icon

00:12 Uhr, 28.05.2016

sorry meine Fomulierung war etwas verwirrend.

Ich wollte sagen :

1)

Induktion nur über eine Varaible

(n)

2)

h

nur so verwenden das du es in Gleichungen abschätzt

\Rightarrow h \geq - 1

oder

(1 + h) \geq 0

oder

...

.

ich wollte damit nicht sagen das du

h = - 1

setzen sollst sondern nur das du es zum abschäzen verwenden kannst.

h

bleibt variabel zwischen

- 1

und unendlich.

mueschbrot aktiv_icon

00:38 Uhr, 28.05.2016

Das bedeutet also, dass ich bei meiner Induktion

(1 + h) (n + 1) > 1 + (n + 1) \cdot h

betrachte oder? Wie kann ich denn überhaupt eine Induktion bei einem

>

oder

<

Zeichen machen? Das haben wir bisher noch nie gemacht...

Liebe Grüße
Mueschbrot

Apilex aktiv_icon

00:47 Uhr, 28.05.2016

das endscheidende ist wieder das du deine Induktionveraussezung benutzt

A := {(1 + h)}^{n} >

1+(n)⋅h

= : B (A

und

B

nur zur abkürzung fürs aufschreiben)

denn von dieser ungleichung weist du das sie stimmt

und dann deine Zielgleichung :

(1+h)^(n+1)>1+(n+1)⋅h

so umformen das du in etwa sowas erhältst :

{(1 + h)}^{n + 1} \geq ... \geq

term

\cdot A >

term*B

\geq . .

\geq

1+(n+1)⋅h
und dann hast du es gezeigt

mueschbrot aktiv_icon

01:29 Uhr, 28.05.2016

hmm okay. Ich versuche es mal:

aaaalso

{(1 + h)}^{n + 1} = {(1 + h)}^{n} \cdot (1 + h)

Dadurch, dass

{(1 + h)}^{n} > 1 + n \cdot h

kann ich es ja im Grunde auf beide Seiten legen oder?

\to {(1 + h)}^{n} \cdot (1 + h) \geq (1 + n \cdot h) \cdot (1 + h)

\to {(1 + h)}^{n} \cdot (1 + h) \geq 1 + h + (n \cdot h) + (n \cdot h^{2})

so,

1 + h + (n \cdot h) = 1 + (n + 1) \cdot h

(Behauptung)
Dadurch, dass

{(1 + h)}^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) \cdot h + (n \cdot h^{2})

ist

{(1 + h)}^{n + 1} > 1 + (n + 1) \cdot h

Ist das richtig oder bin ich ganz falsch?

Liebe Grüße

Mueschbrot :-)

Apilex aktiv_icon

01:51 Uhr, 28.05.2016

noch nicht ganz

→(1+h)^n⋅(1+h)> (1+n⋅h)⋅(1+h)
→(1+h)^n⋅(1+h)> 1+h+(n⋅h)+(n⋅h^2)
das passt außer das

>

und nicht nur

\geq

gilt

"so, 1+h+(n⋅h)=1+(n+1)⋅h (Behauptung) " behauptung ? ist doch einfach nur Ausmultipliziert

\Rightarrow

gilt immer

"Dadurch, dass

{(1 + h)}^{n} + 1 >

1+(n+1)⋅h+(n⋅h^2) ist

{(1 + h)}^{n} + 1 >

1+(n+1)⋅h"
nein die Schlussfolgerung stimmt nicht

den bsp. nur weil

a > b

und

a > c

folgt nicht

b > c,

aber aus

a > b

und

b > c

folgt

a > c

\to

die ausagen folgen da

{(1 + h)}^{n} + 1 >

1+(n+1)⋅h+(n⋅h^2)>= 1+(n+1)⋅h
also wichtig das auch 1+(n+1)⋅h+(n⋅h^2)>= 1+(n+1)⋅h gilt was noch begründet werden muss warum das immer gilt.

mueschbrot aktiv_icon

02:04 Uhr, 28.05.2016

Okay, zum letzten Teil:

1 + (n + 1) \cdot h + (n \cdot h^{2}) \geq 1 + (n + 1) \cdot h

Das gilt weil

1 + (n + 1) \cdot h

schon in

1 + (n + 1) \cdot h + (n \cdot h^{2})

drin steckt und

+ (n \cdot h^{2})

nur positiv sein kann, denn

n \geq 2

und

h^{2} > 0

. Bei der Multiplikation von zwei positiven Zahlen ist das Produkt immer positiv. Somit

B +

eine positive Zahl ist immer

> B

Dadurch, dass

A >

B+eine positive Zahl ist, kann doch A im Grunde auch nur

> B

sein. ?

Liebe Grüße
Mueschbrot

Apilex aktiv_icon

02:10 Uhr, 28.05.2016

genau und das wars dann auch schon mit der Induktion

\to

IA ( (1+h)^2>1+2⋅h zeigen )

\to

IS so wie du jetzt am ende hattest und dann hast du die Aufgabe fertig.

mueschbrot aktiv_icon

02:15 Uhr, 28.05.2016

:-D)DD Wah super! Ich danke dir 1000-Fach! Ich habe es verstanden! :-)
Den ganzen Ordnungskram schreibe ich dann noch dazu. Bin grad ziemlich glücklich - habe mich mit der Aufgabe etwas schwer getan.

Vielen Dank! :-)

Mueschbrot

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