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Induktionsbeweis n^2 < 2^n

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Tags: Induktionsbeweis, Vollständig Induktion, Vollständige Induktion Ungleichung

anonymous

20:50 Uhr, 21.11.2017

Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Matheaufgabe. Ich soll mithilfe von vollständiger Induktion beweisen, dass

n^{2} < 2^{n}

ist.

Folgende Ergebnisse habe ich bis jetzt:

P (n)

sei die Aussagenform

n^{2} = < 2^{n}

für

n > 3

Induktionsanfang (Beweis von

P (4)) :

4^{2} = < 2^{4} \Leftrightarrow 16 = < 16

Sodass

P (4)

richtig ist

Induktionsschluss:

Induktionsvoraussetzung:

P (k) : k^{2} = < 2^{k}

Induktionsbehauptung:

P (k + 1) :

{(k + 1)}^{2} = < 2^{k + 1}

Die Induktionsbehauptung habe dann so umgeformt:

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 = < 2 \cdot 2^{k} = 2^{k + 1}

Jetzt weiß ich aber nicht mehr so richtig weiter. Wäre für den ein oder anderen Tipp echt dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:02 Uhr, 21.11.2017

Hallo
du musst immer die Indvors benutzen. du hast

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 < 2^{k} + 2 k + 1

jetzt noch

2 k + 1 < 2^{k}

oder

2 k + 1 < k^{2} < 2^{k}

für

k > 3

wieder mit ner kurzen Induktion.
Gruß ledum

anonymous

21:52 Uhr, 21.11.2017

Hallo ledum, danke für deine Antwort. Habe da aber etwas noch nicht so ganz verstanden.

Wieso habe ich

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 < 2^{k} + 2 k + 1

?
Wo kommt das

2 k + 1

auf der rechten Seite her?

Und was genau sind Indvors? Der Begriff taucht in meinem Skript nicht auf.

ledum aktiv_icon

12:52 Uhr, 22.11.2017

Hallo
ich versteh die Frage kaum die

2 k + 1

kommen als Teil von

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1

das hattest du selbst geschrieben, dann benutze ich die Indvors:

k^{2} < 2^{k}

und setze sie ein dann bleiben natürlich die

2 k + 1

weiter da.
Gruß ledum

sprtka aktiv_icon

15:37 Uhr, 22.11.2017

Mit indvors meint ledum Induktionsvoraussetzung.
Gruß

anonymous

19:56 Uhr, 22.11.2017

Ich habe geschrieben:

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 = < 2

⋅

2^{k}

Du hast geschrieben:

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 = < 2^{k} + 2 k + 1

Also bei dir sind auf der rechten Seite des

\leq 2 k + 1

und bei mir nicht

Oder ergibt sich

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1 = < 2^{k} + 2 k + 1

indem man auf die Indvos

k^{2} < 2^{k}

einfach

2 k + 1

addiert?

Gruß schockner

ledum aktiv_icon

21:49 Uhr, 22.11.2017

Hallo
ich habe nur eingesetzt, was man schon weiss nämlich

k^{2} < 2^{k}

dann bleiben die

2 k + 1

erstmal stehen.
du schreibst direkt

k^{2} + 2 k + 1 < 2 \cdot 2^{k}

ohne zu sagen, warum du da einfach

2 \cdot 2^{k}

hinschreiben darfst
ich denke dass du (was richtig ist , aber nicht gezeigt) automatisch annahmst, dass du ja

2 k + 1

durch das größere

2^{k}

ersetzen kannst.
aber das muss man eben hinschreiben und begründen auch wenn es (fast) immer richtig ist. für

k = 1

und

k = 2

ja nicht. deine Ungleichung ist also für

k = 2 z, B,

falsch.
Gruß ledum

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