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Induktionsbeweis zu Mengengleichheit

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Tags: Induktion, Induktionsbeweis, Mengengleichheit, Mengenlehre

 
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maulwurf2304

maulwurf2304 aktiv_icon

11:58 Uhr, 20.11.2020

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Ich soll eine Mengengleichheit mit einer vollständigen Induktion beweisen (A=B).

Es sind die Mengen A und B gegeben, für die gilt:


A:

3 und 4∈A
- Wenn m ∈ A dann auch m+3 ∈ A sowie m+5 ∈ A

B:

−{3,4,8} ∈ B
- Falls m ∈ B, so auch m+3 ∈ B

Ich habe Probleme mit der Umsetzung der Induktion. Wie bringe ich die Mengen in eine Form, mit der ich rechnen kann?

Da A und B={3,4,6,7,8,9,10,11,...} hätte ich induktiv für m>5 bewiesen und m<5 für die Einzelfälle gezeigt.

Also möchte ich zeigen:

∀n>5. n∈A,∀n>5. n∈B und ∀n≤5. n∈A⇔n∈B

Meine Ideen bisher sind:
1. Wenn m∈A dann auch m+3∈A dann auch m+2⋅3∈A und allgemein auch m+k⋅3k,k∈ℕ,
beliebig

2. dann m+k⋅3∈A auch m+k⋅3+5 usw. also mit Induktion auch m+k⋅3+l⋅5, mit l beliebig aus ℕ

3. Induktionsanfang für m=3 und k=1:
3+1⋅3 = ? ; 6∈A, da 3+3=6

4. Induktionsvoraussetzung: m+k⋅3 = ?
5. Induktionsbehauptung: m+(k+1)⋅3 =?

Womit setze ich meinen Ansatz gleich? Definiere ich B ebenfalls als m+k⋅3 und m+(k+1)⋅3? Wenn ja, wäre B ⊆ A ja trivial. Bliebe A ⊆ B zu zeigen, also m+k⋅5 = ?. Ich kann ja nicht m+k⋅5 = m+k⋅3 schreiben, da das offensichtlich falsch ist. Aber welche Bedingungen kann ich bei zwei Mengen verwenden?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:21 Uhr, 20.11.2020

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Ich würde die Behauptung so aufstellen: für alle n gilt: A∩{1,2,...,n} und B∩{1,2,...,n} haben die gleichen Elemente. Daraus folgt klar, das A=B.
Und das kann man per Ind beweisen.
Für n≤4 stimmt die Aussage.
Wenn jetzt die Aussage für n stimmt, betrachten n+1.
Wenn n+1 in A liegt, dann liegt entweder n+1-3=n-2 oder n+1-5=n-4 in A.
Im ersten Fall liegt also nach IV n-2 in B, damit aber per Konstuktion von B liegt n-2+3=n+1 in B.
Im zweiten Fall liegt nach IV n-4 in B. Jetzt können wir nutzen, dass wir über B eigentlich wissen, wie sie aussieht, es ist nämlich so: B={3+3k}∪{4+3k}∪{8+3k}. Wenn jetzt n-4=3+3k gilt, dann liegt n+1∈{8+3k}, also in B. Wenn n-4=4+3k gilt, dann liegt n+1∈{3+3k}, also wieder in B. Und wenn n-4=8+3k gilt, dann liegt n+1 in {4+3k}, also in B.
Also, haben gezeigt: n+1∈A =>n+1∈B.

Wenn umgekehrt n+1∈B, dann n-2∈B => nach IV n-2∈A => n-2+3=n+1∈A.
Also, n+1∈B =>n+1∈A.

Das ist alles.
Vermutlich geht auch einfacher, aber das ist auch eine valide Lösung.
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