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Infimum und Supremum bestimmen

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Funktionen

Tags: Funktion, INFIMUM SUPREMUM MAXIMUM MINIMUM

 
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Spoghi

Spoghi

19:35 Uhr, 13.12.2010

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Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

Vermuten Sie ob die gegebene Funktion ein Infimum und/oder ein Supremum besitzt und beweisen sie es im Anschluss. Besitzt diese Funkion ein Max. und/oder ein Min.?

Funktion: f:[0,unendlich) -> R

f ( x )   =   − x

Meine Vermutung besitzt ein Supremum (wegen dem gegebnen Intervall) aber kein Maximum, kein Infimum daher auch kein Minimum.

Wie beweise ich dies nun?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Beeblebrox

Beeblebrox aktiv_icon

19:49 Uhr, 13.12.2010

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Ich nehme mal an, der Definitionsbereich ist [0,∞). Die Funktion besitzt ein Supremum und damit auch ein Maximum, aber weder ein Minimum noch ein Infimum. Was dürft Ihr alles benutzen bzw. was wisst Ihr denn? Eigentlich ist ja bekannt, dass die Wurzelfunktion nach [0,∞] abbildet, also keine negativen Wert annimmt. Daher ist bei x=0 das Minimum der Wurzelfunktion und damit das Maximum der Funktion f. Oder Du zeigst mittels Ableitung, dass die Funktion monoton fallend ist, dann musst das Maximum wiederum bei x=0 vorliegen.
Nehmen wir an, ein Infimum existiere und nennen es a. Es muss also gelten f(x)≥a für x. Sei x0=(-a+1)2, dann ist f(x)=a-1<a. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
Frage beantwortet
Spoghi

Spoghi

20:40 Uhr, 13.12.2010

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Danke für deine schnelle antwort