Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Inhalt eines Polynoms (ggT)

Inhalt eines Polynoms (ggT)

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Polynome

Ringe

Tags: Körper, polynom, Ring

Lamy99 aktiv_icon

16:30 Uhr, 06.01.2021

Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe in Algebra nicht weiter:

zeige
(a)

I (f g) = I (f) I (g)

\forall f, g \in ℤ [x]

, wobei I(f) der Inhalt von f (also der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten von f) ist und
(b)

f \in ℤ [x]

und

g, h \in ℚ [x]

mit

f = g h

, dann gibt es ein

u \in ℚ^{*}

mit

u h, u^{- 1} g \in ℤ [x]

Überlegungen:

(a): sei

f = \sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i}, g = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}

, dh zu zeigen:

g g T (a_{i}) \cdot g g T (b_{i}) = g g T (\sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{n} a_{i} \cdot b_{j})

, also dass alle Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler haben.
Ich weiß, dass

I (f) ∣ a_{i}

\forall i = 0, . . ., m

und

I (g) ∣ b_{j}

\forall j = 0, . . ., n

Falls ggT=1, also Einheit in

ℤ

folgt die Behauptung ja mit dem Lemma von Gauß, da dann f,g und somit auch fg primitiv sind.
Aber wie zeige ich das, wenn es nicht primitiv ist?

(b):

ℤ

faktorieller Ring, dazu hatten wir folgenden Satz: zu jedem

f \in K [x]

f \neq 0

gibt es

u \in K^{*}

derart, dass

u^{- 1} \cdot f

ein primitives Polynom mit Koeffizienten in

R

ist. Dabei

u \in R \overset{}{\Leftrightarrow} f \in R [x]

. Hier: K =

ℚ

und

R = ℤ

, wobei u auch als Inhalt bezeichnet wird.
Es gilt

g, h \in ℚ [x]

, dh die Koeffizienten sind alle aus

ℚ

, aber wegen

f = g h \in ℤ

, müssen die Koeffizienten von

g h

ja ganze Zahlen sein. Hilft mir das irgendwie?

Danke für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1525508

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?