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Differentialgleichung
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Gewöhnliche Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen
 
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Ich habe ein Problem mit dieser Differentialgleichung. y′′(x)−2y′(x)=sin(x)⋅ex Die homogene Lösung habe ich leicht gefunden, jedoch sollte irgendwo in der Lösung noch ein vorkommen, ich weiß jedoch einfach nicht wo es herkommt. Homogener Teil: Charakteristische Gleichung: x^2−2x=0 Die allgemeine Lösung für den homogenen Teil ist also: yH= c1+c2⋅e^2x Die Lösung laut Wolfram Alpha sollte jedoch yH= c1+((c2⋅e^2x)/2) sein(?). Nun sollte man jetzt noch eine spezielle Lösung für die inhomogene Seite finden. Ich weiß zwar nicht genau, was das "speziell" heißt, jedoch habe ich folgenden Ansatz gefunden. sin(x)⋅e^x habe ich als Gleichung der Form A+Bx+C*e^x angesetzt, war mir aber nicht sicher, ob man einfach als Koeffizienten annehmen kann. Inhomogener Teil: yP=A+Bx+C*e^x y′P=B+C⋅ex y′′P=C⋅ex habe ich mittels Koeffizienten Vergleich ermittelt durch Einsetzen des Ansatzes in die ursprüungliche Gleichung: C*e^x-2(B+C*e^x)=e^x*sinx -C*e^x-2B=e^x*sinx -C=sinx ⇔ c=-sinx −2B=0 ⇔B=0 Also wäre yP=-sinx*e^x Wolfram Alpha hat aber auch hier wieder in der Lösung, die insgesamt (12(c1⋅e^2x−sin(x)⋅e^x)+c2 sein sollte. Könnte mir jemand helfen, wie man auf kommt, wenn möglich auf die Art und Weise, wie ich es gerechnet habe, da ich mir mit diesen Methoden am leichtesten tue. Vielen Dank im Vorraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die Lösung laut Wolfram Alpha sollte jedoch yH= c1+((c2⋅e^2x)/2) sein(?). Das ist ja kein Problem. Dort wo du stehen hast, hat Wolfram stehen. Man könnte auch stattdessen schreiben, sofern man irgendwo anmerkt, dass beliebig aus zu wählen ist und (nicht Kelvin bedeutet). Nun sollte man jetzt noch eine spezielle Lösung für die inhomogene Seite finden. Ich weiß zwar nicht genau, was das "speziell" heißt, Eine DGL hat in der Regel unendlich viele Lösungen. Jede einzelne davon kann man auch spezielle Lösung oder Partikulärlösung nennen. Es geht also nur darum, irgend eine Lösung (aber eben ohne allgemein Konstanten wie oder zu finden. In der Praxis weiß man ja meist, welcher Vorgang der DGL zugrunde liegt und kennt of ein ganz bestimmte (meist triviale) Lösung. Diese kann man dann als Partikulärlösung nehmen und hat die DGL gelöst. Ansonsten gibt es, um eine Partikulärlösung zu finden, zum Beispiel die Möglichkeit der "Variation der Konstanten" oder in manchen Fällen die Möglichkeit des "unbestimmten Ansatz". Du hast dich offenbar für Letzteres entschieden. jedoch habe ich folgenden Ansatz gefunden. sin(x)⋅e^x habe ich als Gleichung der Form A+Bx+C*e^x angesetzt, war mir aber nicht sicher, ob man einfach als Koeffizienten annehmen kann. Darf man nicht, denn ist ja keine Konstante! Die Störfunktion ist eine multiplikative Verknüpfung einer Schwingung mit einer Exponentialfunktion, weswegen auch der unbestimmte Ansatz so lauten muss. Also Und wenn Onkel Wolframs Lösung richtig ist (was anzunehmen ist), solltest du für und für rausbekommen. Du musst also die Kosinusfunktion dazu nehmen (auch wenn sie bei diesem Beispiel dann letztlich doch wieder rausfällt)! Alternativ kannst du anstelle von auch verwenden, wobei die A und da aber eine andere Bedeutung (und auch andere Werte) haben. |
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