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Inhomogene Lösungsmenge wie angeben

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: inhomogen, Lösungsmenge, Matrizenrechnung

kunkka

00:33 Uhr, 12.09.2015

Hey,

ich hab die folgende Matrix:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & | 6 \end{matrix})

und soll die inhomogene Lösungsmenge angeben.

Ich hab die Lösungsmenge so angegeben:

mit

x 3 = s

und

x 5 = t

L = {(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 0 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})}

Ist das richtig?

Ich verstehe nicht ganz was mir der erste Vektor sagt / woraus er sich zusammensetzt.

Bummerang

01:00 Uhr, 12.09.2015

Hallo,

lineares Gleichungssystem mit 5 Unbekannten und 2 Gleichungen bedeutet einen Rsngdefekt bei der Koeffizientenmatrix von mindestens

5 - 2 = 3

und damit eine Lösung mit mindestens 3 Parametern. Deshalb kann Deine Lösung nicht stimmen bzw. vollständig sein!

kunkka

01:20 Uhr, 12.09.2015

Danke für die Antwort.

Ich hab die Lösungsmenge verändert:

mit

x 3 = s, x 5 = t

und

x 1 = u

L = {(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

+s⋅

(\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) +

t⋅

(\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 0 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

Bummerang

01:22 Uhr, 12.09.2015

Hallo,

. .

. und vergessen, die angepasste Lösung hier einzustellen

. .

.

EDIT: da wurde sie doch noch nachgereicht...

Und was ist nun die konkrete Frage? Du hast vorhin gefragt, wie man auf den ersten Vektor kommt und hast ihn doch ermitteln können. Du hast gefragt, was er bedeutet: Es ist einfach eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems, das sollte eigentlich so gelehrt worden sein, dass die Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems gleich der Summe aus einer soeziellen Lösung und der allgemeinen Lösung des homogenen Gleichungssystems ist.

kunkka

01:43 Uhr, 12.09.2015

Ich konnte ihn ermitteln, weil ich einfach auswendig gelernt habe, dass man die Köpfe der Matrix abliest und dann die Werte des Ergebnisvektors an deren Stelle angibt.

Aber ich würde gerne verstehen wieso das so ist.

Ich könnte doch zum Beispiel die erste Gleichung:

x 2 + 2 \cdot x 3 + 3 \cdot x 5 = 4

nach

x 3

auflösen:

x 3 = 2 - \frac{1}{2} x 2 - \frac{3}{2} \cdot x 5

Demnach müsste in der speziellen Lösung an der Stelle

x 3

eine 2 stehen was falsch ist. Aber wo ist mein Denkfehler?

Bummerang

02:20 Uhr, 12.09.2015

Hallo,

das mit dem Ablesen funktioniert hier, weil die Koeffizienten zu

x_{2}

und

x_{4}

eine Einheitsmatrix bilden. Man muss aber nicht immer bis zur Einheitsmatrix rechnen. Ich stelke die Lösung nach einem einheitlichem immer funktionierenden Algorithmus auf:

Man kann 3 Koordinaten mit Parametern frei wählen. Du wählst

x_{3} = s

x_{5} = t

x_{1} = u

Das setze ich in eine Gleichung ein und zwar in die, bei der die Koeffizientenmatrix in Dreiecksform ausser den frei gwählten Werten nur noch an einer Stelle keine Null hat. Das ist

i . d . R

. die letzte Gleichung. Dann stelle ich nach dem einzig unbekannten

x_{k}

um. Bei Dir ist es zwar egal, weil Du ja die Diagonalform durch die Einheitsmatrix gegeben hast, aber ich nehme auch die letzte Gleichung:

x_{4} + 5 \cdot t = 6 \Rightarrow x_{4} = 6 - 5 \cdot t

Dann geht man das Dreieck Stück für Stück weiter, bei zwei Zeilen ist da der nächste Schritt schon der letzte. Es folgt also die erste Zeile:

x_{2} + 2 \cdot s + 3 \cdot t = 4 \Rightarrow x_{2} = 4 - 2 \cdot s - 3 \cdot t

Das ergibt die Gesamtlösung

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} u \\ 4 - 2 \cdot s - 3 \cdot t \\ s \\ 6 - 5 \cdot t \\ t \end{matrix})

Das forme ich so um, dass alle Koordinaten eine absolute Zahl und jeweils ein Vielfaches vor

s, t

und

u

enthält:

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + 0 \cdot s + 0 \cdot t + 1 \cdot u \\ 4 + (- 2) \cdot s + (- 3) \cdot t + 0 \cdot u \\ 0 + 1 \cdot s + 0 \cdot t + 0 \cdot u \\ 6 + 0 \cdot s + (- 5) \cdot t + 0 \cdot u \\ 0 + 0 \cdot s + 1 \cdot t + 0 \cdot u \end{matrix})

= (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \cdot s \\ (- 2) \cdot s \\ 1 \cdot s \\ 0 \cdot s \\ 0 \cdot s \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \cdot t \\ (- 3) \cdot t \\ 0 \cdot t \\ (- 5) \cdot t \\ 1 \cdot t \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \cdot u \\ 0 \cdot u \\ 0 \cdot u \\ 0 \cdot u \\ 0 \cdot u \end{matrix})

= (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 0 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

kunkka

02:30 Uhr, 12.09.2015

Danke für die Methode!

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