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Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung - Ansatzmethode

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ansatzmethode, Gewöhnliche Differentialgleichungen, inhomogene Dgl, Inhomogene Differentialgleichungen, Methode der unbestimmten Koeffizienten

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Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

22:47 Uhr, 22.05.2017

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Hey Leute, eine ganz kurze Frage meinerseits.

Ich habe folgende Aufgabe: Ich soll mittels Ansatzmethode (Methode der unbestimmten Koeffizienten) die/eine partikuläre Lösung folgender Differentialgleichung finden:

y'' - 2 \cdot y' + 10 \cdot y = 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot e^{x}

Nun habe ich folgenden Ansatz gewählt.

\frac{3}{10} \cdot x^{2} + C \cdot x + D \cdot e^{x} + E

(Kann dieser funktionieren?)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet laut Wolframalpha:

Yp(x)

= \frac{3}{10} \cdot x^{2} + \frac{3}{25} \cdot x + \frac{2}{9} \cdot e^{x} - \frac{9}{250}

Wenn ich meinen Ansatz 2-mal ableite und in die Differentialgleichung einsetze erhalte ich für

C = \frac{3}{25},

was stimmen dürfte.

D

kürzt sich bei mir allerdings komplett weg und für

E

erhalte ich:

E = - 2 \cdot e^{x} - \frac{9}{25},

was auch nicht mit der Lösung von Wolframalpha übereinstimmt.

War mein Ansatz richtig bzw. kann mir jemand weiterhelfen? Habe mit Sicherheit keine Rechenfehler gemacht, also daran dürfte es nicht liegen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

22:54 Uhr, 22.05.2017

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Ich schreibe mal doch noch lieber meine Rechenwege dazu:

Y' (x) = \frac{3}{5} \cdot x + C + D \cdot e^{x}

Y'' (x) = \frac{3}{5} + D \cdot e^{x}

Nun setze ich ein:

\frac{3}{5} + D \cdot e^{x} - 2 \cdot (\frac{3}{5} \cdot x + C + D \cdot e^{x}) + 10 \cdot (\frac{3}{10} \cdot x^{2} + C \cdot x \cdot D \cdot e^{x} + E) = 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot e^{x}

Ausmultipliziert erhalte ich:

\frac{3}{5} + D \cdot e^{x} - \frac{6}{5} \cdot x - 2 \cdot C - 2 \cdot D \cdot e^{x}) + 3 \cdot x^{2} + 10 \cdot C \cdot x \cdot D \cdot e^{x} + E) = 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot e^{x}

Nach dem Zusammenfassen sind jetzt alle Terme mit "D" verschwunden.

\frac{3}{5} - \frac{6}{5} \cdot x - 2 \cdot C + 3 \cdot x^{2} + 10 \cdot C \cdot x + E) = 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot e^{x}

Jetzt eliminiere ich

3 \cdot x^{2}

und habe

\frac{3}{5} + D \cdot e^{x} - \frac{6}{5} \cdot x - 2 \cdot C - 2 \cdot D \cdot e^{x}) + 10 \cdot C \cdot x \cdot D \cdot e^{x} + E) = - 2 \cdot e^{x}

Koeffizientenvergleich liefert mir:

- \frac{6}{5} + 10 \cdot C = 0

\frac{3}{5} - 2 \cdot C + E

Daraus erhalte ich wie gesagt:

C = \frac{3}{25}

und

E = - 2 \cdot e^{x} - \frac{9}{25}

Bitte nochmal um Hilfe, Danke!

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Loewe1

23:11 Uhr, 22.05.2017

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Hallo,

Bei diesem Verfahren ermittelst Du zuerst

y_{h}

y_{h} = C_{1} e^{x} cos (3 x) + C_{2} e^{x} sin (3 x)

Die part.Lösung ermittelst Du summandweise:

y_{p 1} = A + B x + C x^{2}

y_{p 2} = D e^{x}

y = y_{p 1} + y_{p 2}

Das Ganze 2 Mal ableiten und die Aufgabe einsetzen, Koeffizientenvergleich

y = y_{h} + y_{p}

Frage beantwortet

Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

09:31 Uhr, 23.05.2017

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Danke für die Antwort, jetzt sieht mein Ergebnis sinnvoller aus!

LG

Frage beantwortet

Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

09:32 Uhr, 23.05.2017

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Jetzt mit Bewertung.

LG

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:31 Uhr, 23.05.2017

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Hallo,

vielleicht interessiert noch, dass Du bei "Jetzt setze ich ein" bbei

y

einen TippFehelr gemacht hast.

Gruß pwm

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