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Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung - spezielle Lsg

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: DGL, DGL 2-ter ordnung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Inhomogene Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen, partikulaere Loesung

Manuel91 aktiv_icon

22:25 Uhr, 20.05.2017

Hey Leute, ich brauche eure Hilfe!

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Finden Sie alle Lösungen von

y''

−

2 y' + 10 y = e^{x} \cdot cos (3 x)

.

Ich habe als homogene Lösung gefunden: Yh

= a \cdot e^{4 x} + b \cdot e^{- 2 x},

da ich die Nullstellen 4 und

- 2

beim Lösen des charakteristischen Polynoms erhalten habe.

Nun finde ich nirgendwo eine ausreichende Erklärung, wie genau ich die partikuläre Lösung erhalte bzw. habe ich keine Ahnung was für einen Ansatz ich wählen soll.

Hat jemand einen Vorschlag? Bin recht verzweifelt. LG

PS: Ich weiß, dass ich die partikuläre Lösung 2-mal ableiten und im Anschluss in die Angabe einsetzen muss, mir fehlt nur der Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:43 Uhr, 20.05.2017

>

Ich habe als homogene Lösung gefunden:
Die Lösung ist nicht homogen. Du meinst die Lösung der zugehörigen homogenen DGL.

>

da ich die Nullstellen 4 und −2 beim Lösen des charakteristischen Polynoms erhalten habe.
Das solltest du besser nochmals nachrechnen!!

>

Nun finde ich nirgendwo eine ausreichende Erklärung, wie genau ich die partikuläre Lösung erhalte
Du hast zwei Möglichkeiten. Entweder mit Variation der Konstanten, oder aber mit unbestimmtem Ansatz.
Letzterer ist hier ein wenig trickreich, da du eine multiplikative Verknüpfung zweier elementarer Funktionen vorliegen hast und demnach beim Ansatz die Partikulärlösung ebenfalls entsprechend ansetzen musst. Dass die Lösung der homogenen DGL bereits

e^{x}

und auch

cos (3 x)

enthält, macht die Sache auch nicht einfacher.
Der Ansatz wäre in deinem Fall

y_{p} (x) = e^{x} \cdot x \cdot (A \cdot sin (3 x) + B \cdot cos (3 x))

Zu deiner Kontrolle:

A = \frac{1}{6}, B = 0

Wenn dir der Ansatz zu verwirrend ist oder die Störfunktion zu bösartig, kannst du immer auch zur Variation der Konstanten greifen.
Hier also

y_{p} (x) = e^{x} \cdot (C_{1} (x) \cdot sin (3 x) + C_{2} (x) \cdot cos (3 x))

Manuel91 aktiv_icon

23:59 Uhr, 21.05.2017

Hallo und Danke für die ausführliche Antwort!

>Die Lösung ist nicht homogen. Du meinst die Lösung der zugehörigen homogenen DGL.
Ja genau das meinte ich.

>Das solltest du besser nochmals nachrechnen!!
Habe ich! Schon beim vermeintlich einfachen Teil grobe Fehler gemacht, herrje... Die Lösungen sollten

1 + 3 \cdot i + 1 - 3 \cdot i

sein wenn ich mich nicht irre?

Habe jetzt alles soweit fertiggerechnet, komme allerdings nicht auf die richtigen Werte für A und

B

egal wie ich es drehe und wende...

Habe jetzt ein Gleichungssystem das lautet:

I:

3 \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) \cdot a' (x) - 3 \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) \cdot b' (x) = e^{x} \cdot cos (3 x)

II:

e^{x} \cdot sin (3 x) \cdot a' (x) + e^{x} \cdot cos (3 x) \cdot b' (x) = 0

Habe ich bis hierhin richtig gerechnet oder hat sich schon ein Fehler eingeschlichen?

LG und Danke!

Roman-22

08:09 Uhr, 22.05.2017

>

komme allerdings nicht auf die richtigen Werte für A und

B

Meine Werte A und

B

haben sich auf die Methode "unbestimmter Ansatz" bezogen, da ich den Eindruck gewonnen hatte, dass du es damit versuchen möchtest.

Dein letzter Beitrag deutet aber darauf hin, dass du doch die Methode "Variation der Konstanten" zur Anwendung bringen möchtest.

Wenn deine Rechnung kontrolliert werden soll, müsstest du sie schon komplett hier vorstellen, nicht nur ein Zwischenergebnis.

Manuel91 aktiv_icon

10:38 Uhr, 22.05.2017

Falls du dir wirklich antust, das alles durchzulesen und nachzukontrollieren sag ich Hut ab und Danke dir tausendfach!

Ja, habe es dann doch mit Variation der Konstanten versucht, da du mir den Eindruck vermittelt hast, dass man sich im Allgemeinen damit leichter tut bzw. im Zweifelsfall damit eher zu einem Ergebnis kommt.

Nun zu meiner Rechnung:

Habe als Lösung der homogenen DGL Folgendes erhalten:

Yh

= A \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + B \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

Für die partikuläre Lsg. habe ich es mit Variation der Konstanten versucht:

Yp

= a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

(Habe die Konstanten a und

b

genannt statt

C 1

und

C 2)

Nun habe ich Yp einmal abgeleitet, wobei ich
Yp'

= a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

+ b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x)

erhalten habe.

Nun habe ich im Internet auf Youtube gesehen, dass man die Terme, die

a' (x)

und

b' (x)

beinhalten quasi ausklammern und als "Nebenbedingung" Null setzen kann und dann ohne diese Terme weiter ableitet. Also die Ableitung von

a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x)

bilden.

Wenn ich das tue erhalten ich
Yp''

= a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

+ 3 \cdot a' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 9 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x)

+ b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) - 3 \cdot b' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x)

- 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) - 9 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

Jetzt habe ich die Ableitungen in die Anfangsgleichung, also in

y'' - 2 \cdot y' + 10 \cdot y = e^{x} \cdot cos (3 x)

eingesetzt.
Dabei erhalte ich:

a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + 3 \cdot a' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

+ 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 9 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

- 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) - 3 \cdot b' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) - 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) - 9 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

- 2 \cdot [a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + 3 \cdot a (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x)]

+ 10 \cdot [a (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)] = e^{x} \cdot cos (3 x)

Wenn ich alles zusammenfasse erhalte ich somit:

a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (x) + 3 \cdot a' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) = e^{x} \cdot cos (3 x)

Zusätzlich habe ich meine Nebenbedingung von vorher, die ich gleich Null gesetzt habe:

a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) = 0

In weiterer Folge habe ich also dieses Glg.system:
I:

a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (x) + 3 \cdot a' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) = e^{x} \cdot cos (3 x)

II:

a' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (x) + b' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) = 0

Jetzt habe ich Glg. II von Glg. I abgezogwn und erhalte als neue Glg. I:

3 \cdot a' (x) \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) - 3 \cdot b' (x) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) = e^{x} \cdot cos (3 x)

Wenn ich nun einen Koeffizientenvergleich mache erhalte ich:

e^{x} \cdot cos (3 x) : 3 \cdot a' (x) = 1

und

e^{x} \cdot sin (3 x) : - 3 \cdot b' (x) = 0

Also ist bei mir:

a' (x) = \frac{1}{3}

und

b' (x) = 0

Wenn ich nun integriere erhalte ich für

a (x) = \frac{1}{3} \cdot x + C 1

und

b (x) = (0 \cdot x) + C 2

Eingesetzt in meine Glg. für Yp erhalte ich also:

(\frac{1}{3} \cdot x + C 1) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + C 2 \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

und als insgesamte Lsg. inkl. Lsg. der homogenen DGL:

Y = A \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + B \cdot e^{x} \cdot cos (3 x) + (\frac{1}{3} \cdot x + C 1) \cdot e^{x} \cdot sin (3 x) + C 2 \cdot e^{x} \cdot cos (3 x)

Stimmt das? LG

Roman-22

14:08 Uhr, 22.05.2017

>

Wenn ich nun einen Koeffizientenvergleich mache erhalte ich:
Du hast komplett richtig gerechnet, aber an dieser Stelle wirds falsch. Koeffizientenvergleich ist hier nicht angebracht, schließlich handelt es sich nicht um konstante Koeffizienten, sondern um Funktionen!

Du hast ein Differentialgleichungssystem in

a (x)

und

b (x)

.
Ich dividiere mal alle Gleichungen durch

e^{x}

und verwende dann, in deiner Nomenklatur, die Gleichungen II und I-II:

a' (x) \cdot sin 3 x + b' (x) \cdot cos 3 x = 0 (1)

a' (x) \cdot 3 \cdot cos (3 x) + b' (x) \cdot 3 \cdot sin (3 x) = cos 3 x (2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Elimination von

b' (x)

durch Bildung von

3 \cdot sin 3 x \cdot (1) + cos 3 x \cdot (2)

liefert dann

a' (x) \cdot (3 {sin}^{2} 3 x + 3 {cos}^{2} 3 x) = {cos}^{2} 3 x

oder

a' (x) = \frac{1}{3} \cdot {cos}^{2} 3 x = \frac{1}{6} \cdot (1 + cos 6 x)

Durch Integration erhalten wir dann

a (x) = \frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{36} \cdot sin 6 x = \frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{18} \cdot sin 3 x \cdot cos 3 x

In weiterer Folge können wir dann auch

b (x) = - \frac{1}{18} \cdot {sin}^{2} 3 x

ermitteln. Die an sich auftretenden Integrationkonstanten können wir frei wählen (wir suchen ja nur irgend eine Partikulärlösung) und naheliegenderweise habe ich die mit Null angesetzt.

Die eben erhaltenen Funktionen werden nun in

y_{p} (x) = a (x) \cdot e^{x} \cdot sin 3 x + b (x) \cdot e^{x} \cdot cos 3 x

eingesetzt und mit ein wenig vereinfachen ergibt sich dann

y_{p} (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} \cdot sin 3 x

Manuel91 aktiv_icon

21:34 Uhr, 22.05.2017

Wow, danke dir vielmals für deine Mühen! Habe alles jetzt nachgerechnet und komme auf dasselbe Ergebnis und denke auch, dass ich das Prinzip soweit verstanden habe!

Vielen lieben Dank noch einmal :-)

LG

Roman-22

21:37 Uhr, 22.05.2017

Wenn alles klar ist, Aufgabe bitte abhaken

Manuel91 aktiv_icon

22:34 Uhr, 22.05.2017

Schon erledigt, danke! :-)

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