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Injektiv, Surjektiv

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Erklärung, injektiv, surjektiv

AlooGobi aktiv_icon

19:22 Uhr, 27.10.2010

Hallo,

kann mir bitte jemand erklären, warum für den Beweis der Surjektivität die Umkehrfunktion gebildet werden kann. Der Ansatz, dass jedes Element der surjektive F. ein Urbild hat ist mir klar. Aber genau genommen können es doch mehrere Urbilder exestieren. Somit wird einem Element mehrere Werte zugeornet. Damit ist aber doch die Bedingung für eine Funktion nicht mehr erfüllt,oder?

Aurel

02:57 Uhr, 28.10.2010

Das seh ich auch so wie du.

Die Umkehrfunktion gibts bei der Bijektion

AlooGobi aktiv_icon

14:32 Uhr, 28.10.2010

danke für die Antwort

Und warum kann bei der Funktion

f (x) = x^{2} + 2 x

die Umkehrfunktion gebildet werden, obwohl die nur surjektiv aber nicht injektiv ist?

\to f^{- 1} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1

hagman aktiv_icon

15:00 Uhr, 28.10.2010

Folgendes:
Wenn eine Abbildung

f : A \to B

injektiv ist, dann gibt es eine linksseitige Umkehrabbildung

g : B \to A

mit

g \circ f = i d_{A}

.
Wenn

f

surjektiv ist, gibt es eine rechtsseitige Umkehrabbildung

g : B \to A

mit

f \circ g = i d_{B}

.
Wenn

f

bijektiv ist gibt es ein

g : B \to A

mit

f \circ g = i d_{B}

und

g \circ f = i d_{A};

in diesem Fall ist das

g

sogar eindeutig bestimmt.

Indem man bei einer nur injektiven Abbildung

f

das

B

verkleinert, bis

f

bijektiv ist, oder bei surjektivem

f

das A verkleinert, bis

f

bijektiv ist. Dann sollte klar sein, was unter einer Umkehrfunktion des modifizierten

f

zu verstehen ist.

AlooGobi aktiv_icon

15:16 Uhr, 28.10.2010

Danke für die Mühe, aber was ist linksseitige/rechtsseitige Umkehrabbildung? ida/idb?

Und was ist mit dem Abschnitt "Indem man bei einer nur injektiven Abbildung

f

das

B

verkleinert...." gemeint?

sorry!

hagman aktiv_icon

15:32 Uhr, 28.10.2010

Mit

i d_{A}

bezeichne ich die identische Abbildung

A \to A,

die also

x \in A

auf sich selbst abbildet.

g

ist linsseitige Umkehrung von

f,

wenn ich durch Verknüpfen von links die Wirkung von

f

aufhebe, wenn also

g \circ f

die Identität ist, mit anderen Worten

g (f (x)) = x

für alle

x

im Definitionsbereich von

f

. Analog für rechts.

Die Abbildung

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}

ist weder injektiv noch surjektiv.
Wenn ich den Definitionsbereich verkleinere,

z . B

. zu

ℝ_{\geq 0},

dann ist die Abbildung

ℝ_{\geq 0} \to ℝ, x \mapsto x^{2}

wenigstens injektiv.
Wenn ich auch den Bildbereich verklienere, erhalte ich die bijektive Abbildung

ℝ_{\geq 0} \to ℝ_{\geq 0}, x \mapsto x^{2}

.
Hierovon kann man dann eine Umkehrabbildung (im engeren Sinne,

d . h

. nicht bloß links- oder rechtsseitig) betrachten und definiert so die Abbildung

\sqrt{:} ℝ_{\geq 0} \to ℝ_{\geq 0}, x \mapsto \sqrt{x}

.
Quadratwurel ist so also nur für nichtnegative Zahlen definiert und liefert stets eine nichtnegativer Zahl.

Aurel

20:54 Uhr, 28.10.2010

Zitat: "Und warum kann bei der Funktion

f (x) = x^{2} + 2 x

die Umkehrfunktion gebildet werden, obwohl die nur surjektiv aber nicht injektiv ist? →

f^{- 1} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1

f (x) = x^{2} + 2 x

ist für

ℝ \to ℝ

weder injektiv noch surjektiv, die Umkehrfunktion kann also nicht gebildet werden.

aber für

ℝ + \to ℝ +

ist

f (x) = x^{2} + 2 x

bijektiv, und

f^{- 1} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1

ist die dazugehörige Umkehrfunktion

AlooGobi aktiv_icon

21:14 Uhr, 02.11.2010

Danke, hab es jetzt begriffen!!

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