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Injektiv, beweis durch gegenbeispiel, gültigkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 14:55 Uhr, 04.11.2005  |
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Sei R die Menge aller reellen Zahlen Die Abbildung geht vom R x R ---> R x R f (x,y) := (x+3, y+2) Für diese Abbildung soll nun bewiesen werden, das sie injektiv ist. Habe nun einen Beweis durch Gegenbeispiel angelegt: Annahme: f nicht injektiv, somit gilt: f(x,y) = f(x',y') aber: (x,y) <> (ungleich) (x',y') Gegenbeispiel: Sei (x,y) := (1,2) Sei (x',y') := (2,1) daraus folgt: f(1,2) = (4,4) f(2,1) = (5,3) laut der Annahme hätten die Bilder aber gleich sein müssen. Also: Widerspruch. Somit ist die Aussage widerlegt --> f injektiv Nun meine Frage: Ist das der richtige Weg und ist der Beweis richtig? Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! mfg sCaLLe |
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Hallo, nette Idee, aber deine Widerspruchsannahme ist falsch. Injektivität bedeutet doch: für ALLE x,y mit x ungleich y gilt f(x) ungleich f(y). Ich mach das mal nicht zu formal. Die dazu gehörige Widerspruchsannahme müsste dann lauten: Es gibt EIN Paar (x,y) aus der Definitionsmenge mit f(x)=f(y). Du hast aber geschrieben, dass aus nicht injektiv folgt, dass die Funktion konstant ist. Gruß, Marco |
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anonymous 18:42 Uhr, 04.11.2005 |
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Hmm könntest du das nochmal genauer erklären? Wie müsste denn in meinem Fall ein Beweis durch Widerspruch aussehen? Geht es vielleicht auch ohne den Beweis durch Widerspruch? Vielleicht ist es mir ja klarer, wenn jemand noch eine andere Beweisform angibt, um das obige Problem zu lösen. Ich weiss nicht weiter =( Danke nochmals im Voraus! mfg sCaLLe |
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anonymous 10:05 Uhr, 05.11.2005 |
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| ich fänd es auch super wenn das hier noch mal jemand genauer erklären könnte. komme da nämich auch nicht weiter...:( | |
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Servus, ich würde das nicht mit einem Widerspruchsbeweis versuchen, sondern direkt. Mein Ansatz wäre folgender: seien (x,y),(x',y') aus RxR mit f(x,y)=f(x',y'). Dann gilt (x+3,y+2)=(x'+3,y'+2) <=> (x,y)=(x',y'). Somit hast du aus der Gleichheit der Bilder auf die Gleichheit der Urbilder geschlossen und somit ist der Nachweis der Injektivität erbracht. (Injektiv: f(x)=f(x') => x=x') Gruß, Marco |
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oh schön genau den ansatz habe ich auch: ) nur wie funktioniert das ganze nun mit der surjektivität??? habe mir erstmal die defintion aufgeschrieben, aber wie soll ich nun weitermachen? |
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Liebe Hanna, darüber solltest du dir selbst Gedanken machen. Du musst doch nur nachweisen, dass für jedes (a,b) aus RxR ein (x,y) aus RxR existiert mit f(x,y)=(a,b) Gruß, Marco |
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anonymous 10:53 Uhr, 05.11.2005 |
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ja das is mir ja irgendwie klar. aber wie führt man den beweis durch, denn man müsste doch für alle (a,b) das zeigen und das sind doch ziemlich viele. oder muss ich da mit der zielmenge arbeiten und sagen, dass diese RxR ist und somit alle fasern ein urbild haben=? irgendwie steh ich da aufm schlauch |
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Seien x,y,a aus R, dann ist x=y-a auch wieder in R und eine Funktion f:R->R x->x+a ist injektiv und surjektiv. Ich denke, damit solltest du es dann schaffen. |
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