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Injektiv, surjektiv, bijektiv im R^2

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Abbildung, Abbildung M →N, Abbildung von Punkten, Abbildungsvorschrift, Bijektivität, Injektivität, Lineare Algebra, surjektivität

anonymous

17:59 Uhr, 01.11.2015

Hallo Forum-Gemeinde, ich soll die untere Abbildung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersuchen. Im

R^{1}

bzw.

R

hab ich dies noch hinbekommen, weiss jedoch nicht wie ich auf die Lösung für diese Teilaufgabe komme. Die vorherigen Aufgaben habe ich mithilfe von Skizzen veraunschaulicht, kriege für diese aber kein klares Bild, bzw. weiss nicht wie für eine Abbildung dieser Art Funktionswerte bekomme. Mein Problem ist hierbei, ob ich für

(x, y)

beispielhaft Vektoren des

R^{2}

einsetze oder Zahlen aus

R^{1}

bzw. R. ich bitte um Hilfe.

(d)

f 4 : R^{2}

→

R^{2}, (x, y)

→

(x

−

y + 1, y

−

x + 1),

mfG. Benny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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18:11 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

vielleicht erst einmal die Injektivität.
Gib eure Definition dafür an.

Mfg Michael

anonymous

18:19 Uhr, 01.11.2015

Für alle

a, a

Element

A :

f(a)=f(a´) ⇒

a =

a´ bzw. Für alle a ungleich a´ Element A ist

f (a)

ungleich f(a´)

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18:22 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

gut.

Und jetzt hast du nicht

A

als Definitionsmenge, sondern...?
Da bin ich mir nichti sicher, vermutlich

ℝ^{2}

?
Wenn ja, wie müssen dann die

a

und

a ʹ

aussehen?

Mfg Michael

anonymous

18:29 Uhr, 01.11.2015

Ich nehme auch an, dass die Definitionsmenge

R^{2}

ist, da keine weitere gegeben ist.
dann müssten a und a´Vektoren sein aus

R^{2}

und nicht aus

R^{1}

bzw.

R,

richtig?

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18:30 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

ja, sofern mit

R

eben

ℝ

gemeint ist oder du anderweitig dein "

R

" definiert hast.

Mfg MIchael

anonymous

18:37 Uhr, 01.11.2015

Mit

R

meine ich die Reellen Zahlen. Trotzdem hab ich noch keine Vorstellung, wie diese Abbildung aussehen könnte, also keine Vorstellung von der Skizze. Und kann keinen Rückschluss auf Injektivität, etc. treffen.

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18:45 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

eine visuelle Vorstellung im Sinne eines Graphen ist auch nicht mehr sinnvoll. Wie soll diese Abbildung denn visualisiert werden?
Und gerade DAFÜR stellt die Mathematik jetzt eine Methode bereit, die OHNE Visualisierung auskommt. Das ist der Vorteil der Mathematik.
Klar, du möchtest zu Beginn deiner mathematischen Karriere auf die Krücke zurückgreifen. Die kennst du, da fühlst du dich sicher.
Wenn du sie aber nicht loslässt/loslassen kannst/willst, dann steht das deinem Lernfortschritt deutlich im Wege, da der Begriff der Injektivität sehr grundlegend ist.

Da wir jetzt die begrifflichen Schwierigkeiten aber geklärt haben, mache doch mal bitte folgendes:
Schreibe die Gleichung/Aussage, die du für injektive Abbildungen angegeben hast, so auf, dass sie zu deiner Abbildung passt (reelle Zahlenpaare statt der Elemente der Menge

A

, KONKRETE Abbildungvorschrift und was ich sonst noch vergessen habe).

Mfg Michael

anonymous

18:53 Uhr, 01.11.2015

Achso, ich hab mir das nochmal so aufgeschrieben und bin dann auf die Lösung kommen, dass die Abbildung injektiv sein muss.

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19:02 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

herzeigen!

Mfg Michael

anonymous

19:18 Uhr, 01.11.2015

Für alle

x, y

Element

R^{2} : f (x) = f (y)

⇒

x = y

⇔ Für alle

x

ungleich

y

Element

R^{2}

⇒

f (x)

ungleich

f (y)

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19:22 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

hm, kann man nicht mit der gleichen Zeile damit beweisen, dass ALLE Abbildungen (so sie nur

f

heißen) injektiv sind?

Ich befürchte, du hast die Besonderheit DIESER Abbildung

f

nicht mit einfließen lassen. Ein Beweis sieht zwar oft wenig konkret aus, aber genau dort, wo es hätte konkret werden können und müssen, bleibst du vage, sogar beliebig.

Verstehst du?

Mfg Michael

anonymous

19:24 Uhr, 01.11.2015

ich hab noch

(x

−

y + 1, y

−

x + 1)

berücksichtigt. Daran würde ich sagen, dass man sieht, dass

x

und

y

gleich sein müssen, damit

f (x) = f (y)

gilt.

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19:27 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

wie gesagt, zeig her!

Mfg Michael

anonymous

19:31 Uhr, 01.11.2015

x - y + 1 = y - x + 1

x - y = y - x

2 x = 2 y

x = y

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19:42 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

das ist aber falsch!

Du hast geschrieben:
> Für alle

a, a ʹ

Element

A

f (a) = f (a ´)

⇒

a = a ´

bzw. Für alle

a

ungleich

a ´

Element

A

ist

f (a)

ungleich

f (a ´)

Du verstehst sicher, dass NICHT

f (x) = x - y + 1

und auch nicht

f (y) = y - x + 1

gilt.

Wir stehen also immer noch an der Stelle, die (korrekte) Definition für injektiv auf deine Abbildung

F : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, (x, y) \mapsto (x - y + 1, y - x + 1)

anzuwenden!

Beantworte (korrekt) die Fragen:
* Was ist dein

A

?
* Wie müsste ein

a \in A

IN DIESEM FALL aussehen?
* Wie müsste ein

A ʹ \in A

IN DIESEM FALL aussehen?
* Wie müsste die Gleichung/Aussgae

f (a) = f (a ʹ) \Rightarrow a = a ʹ

lauten?

NUR wen du das hinter dir hast, hast du einen gültigen Anfang für den Beweis!

Mfg Michael

anonymous

19:59 Uhr, 01.11.2015

A ist

R^{2}

bzw. die Urbildmenge.
a Element A ist

x

Element

R^{2}

a´Element A ist

y

Element

R^{2}

f (x) = f (y), x = y

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21:13 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

ok, wenn du nun

a

x

und

a ʹ

y

umbenennst, sei's drum.
Mir fehlt dabei so ein bisschen der Zusammenhang zu

ℝ^{2}

, aber wie gesagt, du willst ja noch konkreter werden!

Es fehlt noch die Aussage

f (a) = f (a ʹ) \Rightarrow a = a ʹ

Und so konkret wie möglich!

Mfg Michael

anonymous

23:33 Uhr, 01.11.2015

Ich verstehe nicht was der Zusammenhang mit

R^{2}

sein soll. ich dachte, dass es mit dem Einsetzen von

(x, y)

Element

R^{2}

erledigt wäre. Sonst seh ich gerade keine Möglichkeit

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00:00 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

bei dir gehen die Bezeichner auch fröhlich durcheinander.
Durcheinander ist so etwas wie das Gegenteil von Mathematik. Darum geht es auch in den Übungen. Bring Klarheit hinein.

Was bei deiner Definition

A

ist, ist in der Aufgabe

ℝ^{2}

.
Deshalb finde ich, bringt es mehr Klarheit, wenn du statt

a

so etwas wie

(x, y)

schreibst. Dann wäre es konsequent, statt

a ʹ

z.b.

(x ʹ, y ʹ)

zu schreiben.

Und nun stellt sich die entscheidende Frage:

Wie lautet die Aussage für Inejktivität, wenn du sie mit diesen Ersetzungen aufschreibst?

Und komm mir nicht

f (x, y) = f (x ʹ, y ʹ)

, da fehlt mir die Konkretisierung von

f

.

Es ergibt sich eine Gleichung, aus der du dann

(x, y) = (x ʹ, y ʹ)

schließen musst. (Oder du findest ein Gegenbeispiel und beweist damit, dass man das eben nicht beweisen kann.)

Mfg Michael

anonymous

00:59 Uhr, 02.11.2015

Für alle (x,y,x´,y´) Element

R^{2} :

f(x,y)=f(x´,y´) daraus folgt (x,y)=(x´,y´)
bzw. Für alle

(x, y)

ungleich (x´,y´) Element

R^{2}

ist

f (x, y)

ungleich f(x´,y´)

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17:04 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

ich schrieb:
>> Und komm mir nicht f(x,y)=f(xʹ,yʹ), da fehlt mir die Konkretisierung von f.

Du schriebst:
> f(x,y)=f(x´,y´) daraus folgt (x,y)=(x´,y´)

Mfg Michael

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