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Injektiv/Surjektiv/Bijektiv

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HansImGlueck001

HansImGlueck001 aktiv_icon

10:35 Uhr, 23.01.2019

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Hey,

ich hab folgende Aufgabe gegeben:siehe Bild

Vermutung: Injektiv -→
1. Vollen Rank
2. Ich habe bereits
-die Eigenwerte bestimmt (λ1=3,λ2=1)
-charakteristisches Polynom
-und den Eigenvektor zu λ1=(1,0,0) und lamda 2=(-1,0,2)
bestimmt
-->der Vektor bildet auf sich selber ab

Ich wäre über jede Hilfe sehr Dankbar.^^

Mfg, Hans
Online-Nachhilfe in Mathematik
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korbinian

korbinian aktiv_icon

10:44 Uhr, 23.01.2019

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Bild fehlt
HansImGlueck001

HansImGlueck001 aktiv_icon

11:28 Uhr, 23.01.2019

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Achja Danke :-D)

Mfg, Hans

966c353c-1a4b-4640-9e19-64eeea273fb5
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 23.01.2019

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Hallo,

wenn Du schon festgestellt hast, dass Rang(A)=3 ist und A eben eine 3-3-Matrix ist, dann ist die lineare Abbildung zu A injektiv und surjektiv. Die Eigenwerte werden für diese Frage nicht benötigt.

Gruß pwm
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godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

14:44 Uhr, 23.01.2019

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Dass der Rang gleich 3 ist, siehst du an deinem Beispiel am Schnllsten durch Vergleich der drei Matrixzeilen; oder schreib mir mal, was DU gemacht hast. Du weißt doch; gerade in der Geometrie kommt es darauf an, etwas zu " sehen "
Übrigens; du sprichst perfekt auswärts. Eine Abbildung ist nicht " injektiv " , sie ist treu. Für diese Fragen ist die → Rangformel zuständig.
Betrachten wir eine Abbildung(smatrix) A:ℝk→ℝm


Fallunterscheidung:


1)    m<k; eine solche Zuordnung kann nie treu sein ( Beispiel: Projektion !) Alternativ argumentierst du mit der Formel

" Zeilenrang = Spaltenrang "

Der Rang der Matrix kann nie >m werden (= die Zeilenzahl der Matrix. )
Die Abbildung ist surjektiv ⇔ Rang (A)=m


Die Basis des ℝk wird auf eine Basis des ℝm abgebildet.


2)    k<m; eine solche Zuordnung kann nie surjektiv sein . Da du im Urbildraum nur über k Basisvektoren verfügst, kannst du unmöglich sämtliche m basisvektoren des Bildraums erreichen.

Treu ist sie ⇔ Rang (A)=k.

Noch zu den Eigenwerten quadratischer Matrizen. In der Rangformel ist lediglich die Rede vom " Kern von A "

ist dir je zu Sinnen gekommen, dass der Kern einer ( quadratischen ) Matrix nichts anderes ist als ihr EIGENRAUM ZUM EIGENWERT NULL ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:58 Uhr, 23.01.2019

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@godzilla: fängst du unter deinem neuen Namen wieder an,
Studenten zu verunsichern?
Natürlich heißt eine eineindeutige Abbildung "injektiv".
Das kannst du doch in jedem Mengelehrekurs/-buch nachlesen.
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