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Injektive, aber nicht surjektive Abbildung Bilden

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, injektiv, surjektiv

Skiddo aktiv_icon

18:24 Uhr, 30.03.2015

Die Aufgabe anbei bereitet mir einige Fragen. ist meine Annahme richtig, dass ich einfach diese Abbildung Schreiben kann?

f:{3,6,9}->{4,8,12,16}
3->4
6->8
9->12

oder muss man dass noch allgemeiner fassen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:45 Uhr, 30.03.2015

Die Abbildung, die du beschrieben hast, ist zwar injektiv und nicht surjektiv.
Allerdings ist das keine Abbildung, wie sie laut Aufgabenstellung gesucht ist.

Du hast keine Abbildung von

{n \in ℕ_{0} | 3 t e i l t n} = {0, 3, 6, 9, 12, ...}

nach

{k \in ℕ_{0} | 4 t e i l t k} = {0, 4, 8, 12, 16, ...}

angegeben, sondern eine Abbildung von

{3, 6, 9}

nach

{4, 8, 12, 16}

. Das macht einen erheblichen Unterschied!

Skiddo aktiv_icon

18:52 Uhr, 30.03.2015

aber wie sieht dann eine nur injektive Abbildung aus ? muss man das allgemeiner schreiben ich verstehe dann die Aufgabe nicht richtig. Dort ist beschrieben geben sie eine Injektive, aber nicht surjektive Abbildung und dann die gegebene abbildung, wie soll man da rangehen an den Lösungsweg

anonymous

19:31 Uhr, 30.03.2015

Eine Abbildung ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge getroffen wird.

Da du eine nicht surjektive Abbildung suchst, soll also mindestens ein Element der Zielmenge

{k \in ℕ_{0} | 4 t e i l t k} = {0, 4, 8, 12, 16, ...}

nicht getroffen werden, beispielsweise die 0.
Alle anderen Elemente

{4, 8, 12, 16, ...}

dürfen getroffen werden.

-

Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Also darf kein Element der Zielmenge zweimal oder öfter getroffen werden.

Nun gehen wir mal die ersten Elemente der Definitionsmenge ab und weisen ihnen Elemente der Zielmenge zu, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie eine entsprechende Abbildung aussehen könnte:

Das "erste" Element 0 der Definitionsmenge weisen wir nicht dem "ersten" Element der Zielmenge zu, sondern dem "zweiten" Element 4 der Zielmenge, da wir das Element 0 der Zielmenge nicht treffen wollen, um zu erreichen, dass die Abbildung nicht surjektiv ist.

0 \mapsto 4

Als nächstes haben wir

3

in der Definitionsmenge. Die 0 wollen wir nicht treffen, wegen Nicht-Surjektivität. Die 4 wollen wir auch nicht nocheinmal zuweisen, da die 4 sonst zweimal getroffen wird, was entgegen der geforderten Injektivität wäre. Also gehen wir weiter zum nächsten Element 8 der Zielmenge.

1 \mapsto 8

Nun machen wir analog weiter:

0 \mapsto 4

3 \mapsto 8

6 \mapsto 12

9 \mapsto 16

12 \mapsto 20

...

Nun haben wir unendlich viele Elemente in Definitions- und Wertemenge, so dass wir nicht einfach so weiter machen können. Das hätte kein Ende.

Wir überlegen uns also nun, worauf wir ein allgemeines Element

n

aus der Definitionsmenge Abbilden wollen.
Da die Abbildungsvorschrift evtl. noch nicht ganz offensichtlich ist. Fügen wir noch Zwischenschritte ein:

0 \mapsto 0 \mapsto 1 \mapsto 4

3 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 8

6 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 12

9 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 16

12 \mapsto 4 \mapsto 5 \mapsto 20

...

Wir verbinden die Elemente der Übersicht halber also zunächst mit den "Positionen" innerhalb ihrer Mengen und sehen dann, dass wir jeweils dem

k

-ten Element der Definitionsmenge das

(k + 1)

-te Element der Zielmenge zugeordnet haben.

Was müssen wir nun rechnen vom Startelement zum ersten Zwischenelement, von dort aus zum zweiten Zwischenelement und von dort aus zum Zielelement?
Diese letzte Überlegung führt uns dann letztendlich zu einer allgemeinen Bildungsvorschrift für die Abbildung.

Skiddo aktiv_icon

19:48 Uhr, 30.03.2015

Also bis zu dem schritt
0↦4
3↦8
6↦12
9↦16
12↦20

ist alles einleuchtend, doch nun kommen wir zu den positionen in der Menge. Das ist mir auch klar, dass man dem k-ten element der quelle das (k+1)te element des ziels zuordnen muss nur wie drück ich das dann als funktionsvorschrift aus? Etwa mit der einführung einer neuen variable und dann
n ↦ (n+1) oder wie ? Das verstehe ich nicht.

anonymous

19:51 Uhr, 30.03.2015

"nur wie drück ich das dann als funktionsvorschrift aus?"

Genau deshalb habe ich ja die Zwischenschritte eingeführt.
Machen wir das mal langsam der Reihe nach.
Überlege dir zunächst wie du von den Startelemente zu den ersten Zwischenelementen kommst, also von 0 zu

0,

von 3 zu

1,

von 6 zu

2,

von 9 zu

3, ...

Skiddo aktiv_icon

21:46 Uhr, 30.03.2015

Augenscheinlich ja mit durch 3 also ist die funktionsvorschrift:
n/3 -> k/4?

oder n/3 -> k?

ledum aktiv_icon

22:11 Uhr, 31.03.2015

Hallo

\frac{n}{3}

nach

\frac{k}{4}

geht doch nicht was soll denn

n

und

k

miteinander zu tun haben.
wenn du alle durch 3 tb Zahlen auf ihr 4 faches abbildest liegt diese Menge in der menge der durch 4 tb Zahlen, erfasst aber nur einen Teil, nämlich den, der durch 3 und 4 tb.
das ist einfacher, als was ihr bisher ausgedacht habt,
also

k \to 4 k

für alle

k

aus der Menge 1.
Gruss ledum

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