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Injektiver Homomorphismus <=> Kern trivial

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Homomorphismus

Sabine2 aktiv_icon

08:57 Uhr, 21.10.2013

Hallo,
ich soll zeigen, dass, wenn

φ : H \to G

ein Homomorphismus ist

(H

mit

\cdot

und

G

mit

\circ),

K e r n (φ) = φ^{- 1} ({e_{G}}) = {e_{H}} \Leftrightarrow φ

ist injektiv.
Meine Idee:
"<="
Wenn

φ

injektiv ist, darf

e_{G}

nur ein Urbild haben, nämlich

e_{H}

e_{G} \circ φ (e_{H}) = φ (e_{H}) = φ (e_{H} \cdot e_{H}) = φ (e_{H}) \circ φ (e_{H})

\Rightarrow e_{G} = φ (e_{H}) \Rightarrow K e r n (φ) = {e_{H}}

Zugegeben, die erste Implikation kann ich nicht richtig Begründen, aber im Prinzip sieht mans doch, oder? Oder muss da noch mehr zu gesagt werden? In der Schule nannte man sowas kürzen :-P)

"=>"
Seien

h_{1}, h_{2} \in H

mit

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

.
Dann ist

h_{1} = φ^{- 1} (φ (h_{1})) = φ^{- 1} (e_{G} \circ φ (h_{1})) = φ^{- 1} (φ (e_{H}) \circ φ (h_{1})) = φ^{- 1} (φ (e_{H}) \circ φ (h_{2})) = φ^{- 1} (φ (e_{H} \cdot h_{2})) = φ^{- 1} (φ (h_{2})) = h_{2}

.
Also ist

φ

injektiv.

φ^{- 1}

ist übrigens das Urbild, nicht die Umkehrfunktion. (Existiert die überhaupt, also ist

φ

auch noch surjektiv?)

Lieben Gruß!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

09:52 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

ich sehe mehrere Schwachstellen bei deinem "Beweis".

1. Verwendest du bei "<=" nicht die Voraussetzung

φ

injektiv. Außerdem zeigst du die Konklusio auch nicht. Du beweist etwas ganz anderes (wofür man die Injektivität auch nicht braucht): Dass

φ (e_{H}) = e_{G}

gilt.

2. In "=>" verwendest du

φ^{- 1} (φ (h_{2})) = h_{2}

, was aber genau für injektive Abbildungen gilt. Daraus schließt du die Injektivität. Also ein Zirkel.

Tipp: Geh mal "sturer" an die Sache heran!
Beginnen wir mit "=>".
Ich beginne oft folgendermaßen:
Sei (also)

φ

mit (der Eigenschaft)

ker (φ) = {e_{H}}

.
Zu zeigen:

φ

ist injektiv.

So, nun her mit einem Axiom, dass die (verbale) Beschreibung von "

φ

injektiv" mathematisch trifft. Das kann die Definition sein, manchmal ist man aber mit einer äquivalenten Beschreibung besser dran.

Was muss man denn zeigen, damit man von

φ

als injektiv sprechen kann?

Und das musst du nachprüfen, wobei irgendwo die Voraussetzung

ker (φ) = {e_{H}}

einfließt.

Versuch (noch)mal!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

10:30 Uhr, 21.10.2013

Man nimmt sich

h_{1}, h_{2} \in H

und muss dann

φ (h_{1}) = φ (h_{2}) \Rightarrow h_{1} = h_{2}

zeigen. Äquivalent dazu wäre

\forall g \in G \exists! h \in H

mit

φ (h) = g

.
Jetzt steh ich wieder vor dem Problem, was ich fast immer habe: Wie fängt man an? Ich müsste

h_{1}

irgendwie mit dem

φ

in Verbindung bringen.

michaL aktiv_icon

11:25 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

> Man nimmt sich

h_{1}, h_{2} \in H

und muss dann

φ (h_{1}) = φ (h_{2}) \Rightarrow h_{1} = h_{2}

zeigen.

Genau das würde ich tun. Dazwischen ist nur ein kleiner Schritt. Welche Infos könntest du denn zu der Gleichung

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

heranziehen?

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

18:06 Uhr, 21.10.2013

Man muss heranziehen, dass

K e r n (φ) = {e}

.
Ich sehe aber nicht, wo.

Hat die Lösung die Form

h_{1} = ... = h_{2}

michaL aktiv_icon

18:10 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

Du hast:

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

.

Du willst hin zu

h_{1} = h_{2}

.

Der Weg führt über:

ker (φ) = {e_{H}}

.

Drei Dinge kombinieren! Versuch mal!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

18:50 Uhr, 21.10.2013

Ich glaube ich hab was..
Seien

h_{1}, h_{2} \in K e r n (φ)

mit

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

φ (h_{1} \cdot h_{2}) = φ (h_{1}) \cdot φ (h_{2}) = e \cdot e = e

.
Also

h_{1} \cdot h_{2} \in K e r n (f)

. Da aber nur

e \in K e r n (φ)

ist, muss

h_{1} = h_{2} = e

sein.

Ich glaube aber, dass das falsch ist, da ich

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

nicht benutzt habe.

michaL aktiv_icon

19:12 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

ja, das ist so nicht wirklich brauchbar.

Bleiben wir bei

φ (h_{1}) = φ (h_{2})

.

Forme die Gleichung so um, dass die beiden

φ

's auf einer Seite stehen (aber bitte richtig!).
Dann wende die Homomorphismuseigenschaft an!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

19:41 Uhr, 21.10.2013

Wie soll ich die denn auf eine Seite bringen? Ich darf doch nicht subtrahieren. Ich glaub, ist stelle mich grade echt blöd an...

michaL aktiv_icon

19:55 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

du befindest dich doch in einer Gruppe, gell?
In einer Gruppe gibt es doch eine (Gruppen-)operation, oder?

Ja, du hast recht, subtrahieren darfst du nur, wenn die Gruppenoperation die Addition ist.

So, jetzt wieder volle Konzentration und los!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

20:02 Uhr, 21.10.2013

Wie soll ich das denn ohne subtrahieren auf eine Seite bringen? Mit

φ^{- 1}

darf ich auch nicht arbeiten, das existiert nicht.
Egal, wie ich die Gleichung umforme, ich komme schlussendlich immer wieder auf die Ausgangsgleichung zurück.

Sabine2 aktiv_icon

21:15 Uhr, 21.10.2013

Nach viel Ausdauer deinerseits habe ich jetzt hoffentlich einen korrekten Weg.

Und hier Versuch 3 (oder so):

φ (h_{1} \cdot {(h_{2})}^{- 1}) = φ (h_{1}) \cdot φ ({(h_{2})}^{- 1}) = φ (h_{1}) \cdot {(φ (h_{2}))}^{- 1} = φ (h_{2}) \cdot {(φ (h_{2}))}^{- 1} = e

Also ist

h_{1} \cdot {(h_{2})}^{- 1} \in K e r n (φ)

.
Da

K e r n (φ) = {e},

ist

h_{1} \cdot {(h_{2})}^{- 1} = e \Leftrightarrow h_{1} \cdot {(h_{2})}^{- 1} \cdot h_{2} = e \cdot h_{2} \Leftrightarrow h_{1} \cdot e = h_{2} \Leftrightarrow h_{1} = h_{2}

.
Damit ist

φ

injektiv.

Klingt gut, finde ich. Nur existiert

{(φ (h_{2}))}^{- 1}

φ

ist ja nicht bijektiv, wieso sollte dann die Umkehrabbildung existieren?

michaL aktiv_icon

21:22 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

gut gemacht!

Jetzt 'ran an die Umkehrung!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

21:59 Uhr, 21.10.2013

φ

injektiv, kann das neutrale Element aus

G

nur ein Urbild in

H

haben. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass unabhängig davon

φ (e) = e

immer gilt.

e

ist also immer ein Urbild von

e

. Da

φ

injektiv ist, ist es also das einzige. Damit ist

K e r n (φ) = {e}

.

Aber meine Frage steht noch ;-) Wieso darf ich mit

φ^{- 1}

"arbeiten", wenn die Umkehrfunktion nicht existiert, bzw. wir nicht wissen, ob die existiert?

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

du interpretierst in diesem Kontext

φ (h_{2})^{- 1}

falsch. Damit ist das inverse Element zu

φ (h_{2})

gemeint.
Die Umkehrabbildung zu

φ

mit Argument sollte besser mit

φ^{- 1} (h_{2})

bezeichnet werden.
Du musst dir (im jeweiligen Kontext) klarwerden, was das "

^{- 1}

" heißen soll.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

23:09 Uhr, 21.10.2013

Und das Inverse existiert, da

φ (h_{1}) \in G

. Alle Elemente einer Gruppe (also auch von

G)

haben ein Inverses.

Die andere Richtung war okay?

michaL aktiv_icon

23:17 Uhr, 21.10.2013

Hallo,

korrekt.
Und die Rückrichtung ist in Ordnung.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

06:30 Uhr, 22.10.2013

Gut :-) Dann vielen Dank!!!
Muss man die Rückrichtung noch stärker formalisieren?
Vllt. so:

φ

ist

i n j e k t i v \Rightarrow \forall h \in H \exists! g \in G : f (h) = g

.
Da aber

φ (e) = e

für jeden Homomorphismus

φ : H \to G

gilt, muss

K e r n (f) = {e}

michaL aktiv_icon

19:52 Uhr, 23.10.2013

Hallo,

> Muss man die Rückrichtung noch stärker formalisieren?

Nein. So, wie du es noch vorschlägst, wäre es sogar falsch.
Die Existenz eines Bildes

g

für jedes Urbild

h

folgt ja schon aus dem Grund, dass

f

eine Funktion ist und

h

ein Element der Definitionsmenge. Das hat also mit der Injektivität gar nichts zu tun.

Dass das Bild jedes Urbildes eindeutig ist, ist ebenfalls auf die Eigenschaft von

f

zurückzuführen, eine Funktion zu sein.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

19:56 Uhr, 23.10.2013

Ja, stimmt.

\forall g

in GG

\exists! h \in H

hätte es sein müssen. Aber okay, ich lass es einfach.
Dank dir! :-)

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