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Injektivität, Surjektivität
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: grundlagenfrage, Nachweis
 
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Hallo zusammen, ich habe für euch wahrscheinlich einfache Fragen, aber komme schlichtweg nicht mit den komplizierten Büchern weiter, vielleicht auch nur für mich zum kompliziert. Ich brauche eben Hilfe an meinen konkreten Problematiken Erstmal zu den Grundlagen: Wenn eine Funktion mit ist, kann dann eine Glichung noch surjektiv sein? Da ja mehrfach getroffen wird durch die Betragsfunktion, kann sich ja schon mal nicht injektiv sein. Aber aufgrund des Definitionsbereich müssten doch im Zielbereich alle gelten und somit auch die surjektivität hinfällig sein,oder? Es werden ja nur die Werte getroffen. Umgekehrt müsste ich diese Funktion dann ja auch schon mit den Einschränkungen bei der Bild und Zielmenge mit definieren,oder? Wenn nicht,warum nicht? Bin mir fast meines Fehlgedankens sicher, aber bitte um eine simple Aufklärung. So und nun dazu, ob die Gleichung surjektiv oder injektiv ist. Habe ich oben einen Gedankenfehler ist sie injektiv. Wie führe ich nun den Nachweis? Injektivität ist ja definiert durch: Beweis durch Kontraposition Also Behauptung 1.Fall 2.Fall Also wie ihr seht, ab hier weiß ich nicht weiter. Für die Surjektivität habe ich so gar keine Ahnung wie man das macht, nur das die Gleichung Richtung aufgelöst werden muß, es würde mir also helfen, wenn mir das jemand mal genauer erklärt ;-). Der Beweis der Injektivität sollte schon so geführt werden, auch der Beweis der Surjektivität,auch wenn er am Ende eben als abgelehnt betrachtet werden muß. Bijektivität ergibt sich ja automatisch, wenn erste beiden Nachweise bestätigt werden können. Dementsprechend brauche ich dazu keine Hilfe. Vielen Dank für eure Hilfe und ihr würdet mir bei Beantwortung aller Fragen bei dieser Übung schon eine Menge helfen ;-). Leider fiel auch die Übung in dieser Woche aus, so das ich mich als aufgebracht betrachten muß ;-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Die durch gegebene Funktion kann vieles sein, je nachdem welchen Definitions- und Zielbereich man angibt. Beispielsweise ist weder injektiv noch surjektiv injektiv, aber nicht surjektiv surjektiv, aber nicht injektiv surjektiv und injektiv Übrigens ist " " nicht die Deifnition von injektiv, denn diese EIgenschaft wird von jeder Abbildung erfüllt. Auch ist nicht die KOntraposiiton von obigem (sondern tatsächlich die Definition voninjektiv). |
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Ich fasse nun das Problem zusammen, vielleicht war ich zu unübersichtlich: mit (an dieser Stelle weiß ich bereits, dass es nicht surjektiv sein kann, da es ja nicht um geht. 1. wie beweise ich diesen Fakt? 2. Wenn dort stehen würde dass die Zielmenge sei, wie wird dann bewiesen? zu 2. Annahme sei surjektiv Beweis das es surjektiv ist durch Kontraposition Fallunterscheidung für mit 1.Fall −x_1=-y_1 2.Fall x1≥0 Fallunterscheidung für mit 1.Fall −x_2=-y_2 2.Fall x1≥0 Aus Die Kontraposition kann angenommen werden,also auch die Annahme Ist das so richtig? Wenn nicht wäre ich für eine Hilfe dankbar. Und wie sieht das grundlegend bei der surjektiven Funktion aus? Wie erfolgt der Nachweis da? |
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sry, ich schrieb schon mein Posting, da kam deine Antwort. Ok, mein Fehler habe ich jetzt erkannt. da aus kann ich dann durch Kontraposition: aus die surjektivität beweisen. Oder? Den Beweis werde ich dann zwar erstmal immer noch nicht hinbekommen,aber der muss ja irgendwie wie im Posting vorher sein. Deine Erklärung zu den Definitionsmengen lasse ich mir mal durch den Kopf gehen und antworte darauf dann erst gleich! |
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Die durch x↦|x| gegebene Funktion kann vieles sein, je nachdem welchen Definitions- und Zielbereich man angibt. Beispielsweise ist f:ℤ→ℤ,x↦|x| weder injektiv noch surjektiv nicht injektiv: Es gibt Werte bei denen ist, obwohl ist -Es gibt also zwei Lösungen für ein bzw. nicht surjektiv: es gibt Werte aus der Zielmenge, denen keine Bildmenge zugeordnet werden kann f:ℕ→ℤ,x↦|x| injektiv, aber nicht surjektiv injektiv: Der Bildmenge wird genau ein Wert aus der Zielmenge zugeordnet, es werden zwar nicht alle getroffen, aber dies ist auch nicht notwendig nicht surjektiv: Die Zielmenge enthält Werte, die durch die Bildmenge nicht abgedeckt werden. f:ℤ→ℕ0,x↦|x| surjektiv, aber nicht injektiv Surjektiv: es gibt für jeden Punkt der Zielmenge einen Wert in der Bildmenge gibt. nicht injektiv: Nicht jedem Wert der Bildmenge kann ein Wert in der Zielmenge zugeordnet werden. f:ℕ→ℕ,x↦|x| surjektiv und injektiv Beides trifft zu, weil die Mengen zum einen gleichmächtig sind (sagt man das so?) und zum anderen natürlich Werte nicht doppelt getroffen werden, es aber zu jedem Zielwert eine eindeutige Lösung aus der Bildmenge gibt. Wenn das jetzt alles richtig ist (meinerseits), dann danke ich dir vielmals für diese Übungseinheit. Die werde ich sicherlich noch ein paar mal durchgehen, muss sich ja automatisieren und die Definition muß auswendig sitzen ;-). Mit dem lernen komme ich dank dir nen guten Schritt voran. Fehlt nur noch das beweisen ;-) (Wenns dir hilft, ich habe heute meine Schuld bei dir an jemandem in Physik weitergereicht ;-) ) So, wie beweise ich das nun in den Fällen. Manche Dinge kann ich aufgrund der Einfachheit dieser Funktion ja schon direkt wiederlegen. Würde das einsetzen von Werten reichen um den Gegenbeweis zu liefern? Wie beweise ich das nun in meinem konkreten Fall. Denn durch mit weiß ich ja schon, dass sie nicht surjektiv sein kann. Werte aus der Zielmenge haben keine entsprechenden Lösungen in der Bildmenge. Nehmen wir aber mal an, es wäre mit definiert. Dann Wäre sie ja immerhin surjektiv. |
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Die Betragsfunktion ist im Reellen definiert als falls falls Lemma: Für ist . Beweis: Fallunterscheidung: Wenn dann . Wenn dagegen dann . Satz: ist nicht surjektiv. Beweis: Es ist und wegen und dem Lemma nicht im ildder Funktion. Satz: ist surjektiv. Beweis: Sei beliebig gegeben. Da ist, gilt . selbst ist ein geeignetes Urbild |
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Die Betragsfunktion ist im Reellen definiert als falls x≥0 |x|=−x, falls Lemma: Für x∈ℝ ist |x|≥0. Beweis: Fallunterscheidung: Wenn x≥0, dann |x|=x≥0. Wenn dagegen dann |x|=−x>0. Ok, bis hierhin klar, damit kann ich schon mal was anfangen und muß ich mir dann auch so einprägen! Satz: ℝ→ℝ,x↦|x| ist nicht surjektiv. Beweis: Es ist −1∈ℝ und wegen −1<0 und dem Lemma nicht im ildder Funktion. Auch hier ist alles klar und gefällt mir, dank Hilfssatz können wir es auf einfache Weise lösen. Der Hilfssatz ist ja im Endeffekt der erste Gedanke, den ich auch hatte und natürlich nicht auszudrücken wusste. Immerhin habe ich jetzt gelernt, da ich ja die Definition zumindest sprachlich kannte, hätte ich sie förmlich verpacken sollen und dann zum Argumentieren nutzen können. Die Definition von surjektiv ist ja: Ist so ist auch Man hätte es ja dann auch so beweisen können und ich glaube das ist auch das, was wir beherrschen müssen (aufgrund auch anderer eventuell schwerer Gleichungen), hat jemand das Schema für genau diesen Beweis parat? Sprich: wie man das hier bereits bewiesene . durch die Fallunterscheidung dann bis zum Ende beweist, also mit Kontraposition? Klar ist der hier bereits erbrachte Beweis eleganter, leichter und schneller, aber trotzdem! Satz: ℝ→ℝ≥0,x↦|x| ist surjektiv. Beweis: Sei y∈ℝ≥0 beliebig gegeben. Da y≥0 ist, gilt . selbst ist ein geeignetes Urbild Hier verstehe ich zwar im mündlichen Sinne, was du sagst, und zwar, dass es zu jedem positiven Wert gleich ein gibt, so dass es ein y∈ℝ_≥0 gibt. Im Endeffekt hast du förmlich jedes y∈ℝ≥0 für angenommen und es dann aber direkt benannt und somit wieder ein gesuchtes gefunden. Damit ist gezeigt das jedes Bild ein Urbild besitzt! das wird noch hart |
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Da ich ja die Lesefaulheit bei langen Texten kenne, hier eine gesonderte Frage: Wie sieht das ganze dann bei injektiv aus? Ich bitte um den Beweis, der auf der Definition basiert. Auch hier werde ich das noch für andere Gleichungen beherrschen müssen! |
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Du schreibst schon wieder Kuddelmuddel: "Die Definition von surjektiv ist ja: Ist so ist auch " Nein, das ist die Definitionvon injektiv. Satz: Die Betragsfunktion ist nicht injektiv. Beweis: Mit und gilt sowohl als auch mithin obwohl . |
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Ich finde das auch alles kuddelmuddelig ;-) - hab ich schon gesagt, dass ich Analysis nicht mag? :-D) - zumindest nicht auf diese Art, vielen dank, jetzt versuche ich mir das noch einmal alles einzuprägen und dann die Folgeaufgaben ;-) Und dann an an bijektiven Abbildungen ;-) Aber auf jeden Fall vielen vielen Dank, warst eine riesen Hilfe ;-) |
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f:ℤ→ℕ0,x↦|x| surjektiv, aber nicht injektiv Wie würdest du Surjektivität in diesem Beispiel zeigen und Injektivität wiederlegen? |
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Wie würdest du Surjektivität in diesem Beispiel zeigen und Injektivität wiederlegen? Das wurde in diesem Thread alles bereits vor über fünf Jahren gezeigt! Zwar nicht für aber für . An den Beweisen ändert das aber nichts. |
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Vielen Lieben Dank für die schnelle Antwort :-). Ich Blick hier nur leider nicht so durch ist der Beweis nun eine Fallunterscheidung oder durch Kontraposition? :-) liebe Grüße :-) |
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