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Injektivität prüfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Gruppen

 
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TheOne123

TheOne123 aktiv_icon

07:26 Uhr, 12.07.2019

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Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
Ich soll unter Anderem zeigen, dass eine Abbildung injektiv.
Eigentlich weiss ich, wie das prüfen kann aber ich verstehe die Funktion nicht so richtig und leider fehlt ein kleiner Teil der Aufgabenstellung. Vllt kann jemand trotzdem von dem Rest der Aufgabenstellung die fehlende Stelle ableiten. Ich vermute da steht sowas wie "Sei h,g in G" Aber das ist wirklich nur blind geraten.

Ansonsten verstehe ich nicht ganz wie ich die Injektivität beweisen oder wiederlegen soll, wenn ich nicht weiss, wie die Verknüpfung definiert ist. Ist die Verknüfungsdefinition vllt die fehlende Stelle der Aufgabenstellung?



Unbenannt
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ermanus

ermanus aktiv_icon

08:05 Uhr, 12.07.2019

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Hallo,
in den Voraussetzungen fehlt gG.
Die Behauptungen, die es zu überprüfen gilt, könnten sein:

1. λg ist injektiv.
2. λg ist surjektiv.
3. λg ist kein Homomorphismus.

Gruß ermanus
TheOne123

TheOne123 aktiv_icon

08:43 Uhr, 12.07.2019

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Danke für die zügige Antwort.
Das sind tatsächlich genau die Sachen, die in der Aufgabe geprüft werden sollen. Das einzige was ich von der Aufgabenstellung nicht wusste, war das gG.

Jetzt muss ich aber nochmal kurz nachfragen wie man denn in diesem Fall die Injektivität zeigen kann, weil die Definition der Verknüpfung ja nicht gegeben ist.
WÄRE die Verknüpfung die üblich Addition auf der Menge der Ganzen Zahlen, könnte ich ja einfach begründen, dass die Funktion λg für jedes Element hG dass eingesetzt wird auf ein anderes Element in der Bildmenge zeigt, weil ge.

Aber hier sind ja weder eine konkrete Menge, noch ein konkrete Verknüpfung angegeben.

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

08:44 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Du hast doch die Gruppenaxiome zur Verfügung.
Mehr braucht man nicht, um die Aussagen zu prüfen.
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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:55 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Nur zur Erinnerung: Für die Injektivität musst du folgendes nachweisen:
λg(h1)=λg(h2)h1=h2.
TheOne123

TheOne123 aktiv_icon

12:17 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Sorry, ich glaub ich steh aufm Schlauch.

In der Klausur würde ich jetzt einfach schreiben:

Die Funktion ist injektiv, weil λg(h1)=h1g    λg(h2)=h2g
für jedes h,gG wobei ge
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:29 Uhr, 12.07.2019

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Nein, das ist ja nur die Definition der Injektivität verballhornt
hingeschrieben ...
Also entweder du beweist
h1h2λg(h1)λg(h2),
was meiner Ansicht nach nicht gut zu machen ist,
oder die kontrapositive Aussage, die ich dir genannt habe:
λg(h1)=λg(h2)h1=h2,
was hier wunderbar geht:

λg(h1)=λg(h2)gh1=gh2.
Multipliziere diese Gleichung von links mit g-1.
Da du ja in einer Gruppe bist, darfst du das machen:
g-1(gh1)=g-1(gh2)
Assoziativgesetz anwenden:
(g-1g)h1=(g-1g)h2, also eh1=eh2,
folglich h1=h2.

TheOne123

TheOne123 aktiv_icon

10:10 Uhr, 13.07.2019

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Ich kann deinen Beweis nachvollziehen aber ich glaube, ich wäre da nicht selber drauf gekommen. Zumindest nicht so schnell... Danke für die Hilfe, ich werde mir das definitiv noch mal genauer angucken und ein paar ähnliche Aufgaben lösen.

Ich hab mich gerade auch an der Surjektivität und dem Gruppenhomomorhismus versucht.
Den Gruppenhom. habe ich grob nen Ansatz:

Es muss ja gelten:
φ(ab)=φ(a)φ(b)

Also:
λg(h1h2)=λg(h1)λg(h2)

(h1h2)g=(h1g)(h2g)

Würde das jetzt schon reichen, um zu zeigen, dass es kein Gruppenhom. ist? Man könnte vllt das gleiche mache wie bei dem Beweis der Injektivität und mit der Inverse von g multiplizieren um auf der linken das g weg zu bekommen.


Bei der Surketivität weiss ich nicht genau wie ich vorgehen könnte, kannst du mir da vllt einen Ansatz geben? Ich bin zwar der Meinung das es surjektiv ist, weil jedes Element aus G von der Funktion irgendwohin abgebildet wird aber ich wüsste nicht, wie ich das beweisen könnte...
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:38 Uhr, 13.07.2019

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Aus irgendwelchen Gründen schreibst du das g immer auf die rechte Seite.
Definitionsgemäß ist aber λg Multiplikation mit g von links
(L(!)ambda = L(!)inks) ;-)
Ansonsten hast du den Homomorphismus richtig angesetzt.
Wenn du hier nun speziell h1=h2=e einsetzt, kommst du ans Ziel.

Bei der Surjektivität musst du zeigen, dass es zu jedem hG
ein hʹG gibt mit λg(hʹ)=h.
Wie muss denn das hʹ zu einem h aussehen? Darüber solltest du
nachdenken.

Gruß ermanus
TheOne123

TheOne123 aktiv_icon

11:22 Uhr, 15.07.2019

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Ohh, ich dachte es wäre egal von welcher Seiten man verknüpft. Ich werde in Zukunft darauf achten.

Nur um ganz sicher zu gehen, dass ich es verstanden habe:
Bei dem Gruppenhom. kann ich h1 und h2 gleich e setzen, weil e ja per Def. in der Gruppe ist. Dadurch hätten wir dann g=gg stehen (was immer eine falsche Aussage ist da ge ist) und somit ist f kein Gruppenhom.?

Die Surjektivität raff ich wieder nicht ganz. Also Jedes h' das ich einsetze wird auf ein h=gh' abgebildet. Also gibt es zu jedem h ein h' mit h'=g-1h? Macht das iwie Sinn?
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