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Injektivität und surjektivität bei komplexen Zahle

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

sikisboy2 aktiv_icon

00:27 Uhr, 07.11.2019

Nabend allerseits,

ich hätte eine Frage zu

(2)

und

(3)

(siehe Bild).
Also für

ℝ

Zahlen hätte ich bei der Aufgabe keine Probleme. Um die Injektivtät für

ℝ

zu bewiesen wäre ich

z . B

. wie folgt vorgegangen:

f (x_{1}) = f (x_{2})

x_{1}^{2} = x_{2}^{2}

| x_{1} | = | x_{2} |

und falls

ℝ \geq 0

wäre es für

x_{1} = x_{2}

bewiesen, dass es injektiv ist.
Aber wie mache es für komplexe Zahlen?
Einfach statt

x_{1}

dann

z_{1} = a + b \cdot i

und

x_{2} z_{2} = c + d \cdot i

einsetzen?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :-)

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:40 Uhr, 07.11.2019

Hallo

M

ist der erste Quadrant, in ihm liegen nur Zahlen

z = r \cdot e^{i \cdot φ}

mit

φ < \frac{π}{2}

(oder

z = r \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

z^{2} = r^{2} \cdot e^{2 i \cdot φ}

H

ist die obere Halbebene also alle

φ < π

kommst du jetzt hin. man sollte IMMER die gegebenen Tips ernst nehmen
Gruß ledum

sikisboy2 aktiv_icon

09:18 Uhr, 07.11.2019

Das mit den Mengen für

M

und

H

war mir schon klar, da ich ja in Aufgabe

(1)

skizzieren sollte und es auch relativ einfach war.
Aber ich verstehe irgendwie immer noch so ganz wie ich den Beweis mit

ℂ

zahlen durchführen soll.
Also wie es ich es jetzt verstanden soll ich dann einfach die Polarkoordinaten einsetzten?

Gruß

sikisboy2 aktiv_icon

18:13 Uhr, 07.11.2019

Hat sonst noch jemand weiter Hilfen?

pwmeyer aktiv_icon

18:25 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

verwende doch zunächst mal Deine Idee für

ℝ :

Wenn

z_{1}^{2} = z_{2}^{2}

. Dann folgt die Gleichheit der Beträge. Was sind die Beträge im Fall der Polarkoordinatendarstellung?

...

.

Gruß pwm

sikisboy2 aktiv_icon

18:50 Uhr, 07.11.2019

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{c^{2} + d^{2}}

oder anders?

ledum aktiv_icon

01:58 Uhr, 08.11.2019

Hallo
in Polardarstellung ist der Betrag

r

.
quadriere doch mal ein beliebiges

z

aus dem ersten Quadranten. wo ist sein Bild? und das siehst du leichter in der Polardarstellung als mit a+ib, deshalb war deine Antwort schlecht.
Gruß ledum

sikisboy2 aktiv_icon

10:35 Uhr, 08.11.2019

Also hilft mir leider nicht weiter.

: (

Also ich weiß jz nur soviel, dass wenn man beliebige Zahlen

z

quadriert, dann multiplizieren sich quasi nur die Abstände und addieren die Winkel?

ledum aktiv_icon

02:50 Uhr, 09.11.2019

Ja, und was passiert dann mit allen solchen Zahlen aus dem ersten Quadranten?
der ist doch das Definitionsgebiet. im reellen hast du doch auch gesehen dass man für die Injektivität das Def. Gebiet einschränken musste?
warum hast du auf meine Aufforderung im letzten post."quadriere doch mal ein beliebiges

z

aus dem ersten Quadranten. wo ist sein Bild?" nicht reagiert??
Gruß ledum

sikisboy2 aktiv_icon

14:07 Uhr, 09.11.2019

Daraus wird doch so ein Kreis oder nicht?

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 09.11.2019

Hallo
die Antwort verstehe ich nicht, wenn du irgend ein

z 1 = r \cdot e^{i φ}

mit \phi<90° bzw.

\frac{π}{2}

nimmst und es quadrierst entsteht doch einfach einz2=

z 1^{2} = r^{2} \cdot e^{i \cdot 2 φ}

und 2\phi<180° bzw

π

D . h

es entsteht ein eindeutiger Punkt in der oberen Halbebene, auch sein Urbild ist eindeutig, wenn du nur im ersten Quadranten suchst. ohne die Einschränkung des Def Gebietes auf den ersten Quadranten hättest du 2 Urbilder von

z 2

. genau wie du im reellen 2 Urbilder von

x = 4

hast wenn du das Def. Gebiet nicht auf

ℝ^{+}

einschränkst.
Was ist dir denn jetzt noch unklar, kannst du das mal genauer sagen?
ledum

sikisboy2 aktiv_icon

20:52 Uhr, 09.11.2019

Ach passt soweit denke man kann das abharken :-)

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