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Injektivität und surjektivität bei komplexen Zahle

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

 
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sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

00:27 Uhr, 07.11.2019

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Nabend allerseits,

ich hätte eine Frage zu (2) und (3) (siehe Bild).
Also für Zahlen hätte ich bei der Aufgabe keine Probleme. Um die Injektivtät für zu bewiesen wäre ich z.B. wie folgt vorgegangen:
f(x1)=f(x2)

x12=x22

|x1|=|x2|

und falls 0 wäre es für x1=x2 bewiesen, dass es injektiv ist.
Aber wie mache es für komplexe Zahlen?
Einfach statt x1 dann z1=a+bi und x2z2=c+di einsetzen?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :-)

Gruß

Screenshot_1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

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01:40 Uhr, 07.11.2019

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Hallo
M ist der erste Quadrant, in ihm liegen nur Zahlen z=reiφ mit φ<π2 (oder z=r(cos(φ)+isin(φ))
z2=r2e2iφ
H ist die obere Halbebene also alle φ<π
kommst du jetzt hin. man sollte IMMER die gegebenen Tips ernst nehmen
Gruß ledum
sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

09:18 Uhr, 07.11.2019

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Das mit den Mengen für M und H war mir schon klar, da ich ja in Aufgabe (1) skizzieren sollte und es auch relativ einfach war.
Aber ich verstehe irgendwie immer noch so ganz wie ich den Beweis mit zahlen durchführen soll.
Also wie es ich es jetzt verstanden soll ich dann einfach die Polarkoordinaten einsetzten?

Gruß
sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

18:13 Uhr, 07.11.2019

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Hat sonst noch jemand weiter Hilfen?
Antwort
pwmeyer

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18:25 Uhr, 07.11.2019

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Hallo,

verwende doch zunächst mal Deine Idee für : Wenn z12=z22. Dann folgt die Gleichheit der Beträge. Was sind die Beträge im Fall der Polarkoordinatendarstellung? ....

Gruß pwm
sikisboy2

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18:50 Uhr, 07.11.2019

Antworten
a2+b2=c2+d2

oder anders?
Antwort
ledum

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01:58 Uhr, 08.11.2019

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Hallo
in Polardarstellung ist der Betrag r.
quadriere doch mal ein beliebiges z aus dem ersten Quadranten. wo ist sein Bild? und das siehst du leichter in der Polardarstellung als mit a+ib, deshalb war deine Antwort schlecht.
Gruß ledum
sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

10:35 Uhr, 08.11.2019

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Also hilft mir leider nicht weiter. :(

Also ich weiß jz nur soviel, dass wenn man beliebige Zahlen z quadriert, dann multiplizieren sich quasi nur die Abstände und addieren die Winkel?
Antwort
ledum

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02:50 Uhr, 09.11.2019

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Ja, und was passiert dann mit allen solchen Zahlen aus dem ersten Quadranten?
der ist doch das Definitionsgebiet. im reellen hast du doch auch gesehen dass man für die Injektivität das Def. Gebiet einschränken musste?
warum hast du auf meine Aufforderung im letzten post."quadriere doch mal ein beliebiges z aus dem ersten Quadranten. wo ist sein Bild?" nicht reagiert??
Gruß ledum
sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

14:07 Uhr, 09.11.2019

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Daraus wird doch so ein Kreis oder nicht?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 09.11.2019

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Hallo
die Antwort verstehe ich nicht, wenn du irgend ein z1=reiφ mit \phi<90° bzw. π2 nimmst und es quadrierst entsteht doch einfach einz2= z12=r2ei2φ und 2\phi<180° bzw π. D.h es entsteht ein eindeutiger Punkt in der oberen Halbebene, auch sein Urbild ist eindeutig, wenn du nur im ersten Quadranten suchst. ohne die Einschränkung des Def Gebietes auf den ersten Quadranten hättest du 2 Urbilder von z2. genau wie du im reellen 2 Urbilder von x=4 hast wenn du das Def. Gebiet nicht auf + einschränkst.
Was ist dir denn jetzt noch unklar, kannst du das mal genauer sagen?
ledum
Frage beantwortet
sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

20:52 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Ach passt soweit denke man kann das abharken :-)