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Injektivität zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Injektivität

Meyer5000 aktiv_icon

13:34 Uhr, 28.05.2021

Gegeben sei die Funktion

c : ℝ \to ℝ^{2}

mit

c (t) = (c_{1} (t), c_{2} (t)) = (\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{2 t}{1 + t^{2}})

. Nun soll ich

c

auf Injektivität untersuchen.

Nun ja... Also

\frac{2 t}{1 + t^{2}}

ist ja nichts anderes als

sin (t)

im Intervall

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

und

\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

nichts anderes als

cos (t)

im Intervall

[0, π]

.

Meine Vermutung ist, dass

c

nicht ist. Ich habe mal ein paar Werte eingesetzt:

c (- 10) = (- 0,98, - 0,19),

c (- 1) = (0, - 1)

c (0) = (1, 0)

c (1) = (0, 1)

c (10) = (- 0,98, 0,19)

Bei

\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

ist es also egal, ob

t

größer oder kleiner als Null ist. Das Vorzeichen ändert sich lediglich bei

\frac{2 t}{1 + t^{2}}

. ABER ich kann ein beliebig großes

t \in ℝ

einsetzen, meine Ergebnisse sind aber allesamt im Intervall

[- 1,1]

. Somit ist

2 \in ℝ

unerreichbar und damit kann nicht jedes

y

erreicht werden. Also nicht injektiv.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

15:16 Uhr, 28.05.2021

"Somit ist 2∈ℝ unerreichbar und damit kann nicht jedes y erreicht werden. Also nicht injektiv."

Es wäre hilfreich, zumindest die Definitionen aufmerksam zu lesen.
Du zeigst, dass

c

nicht surjektiv ist. Mit Injektivität hat das nichts zu tun.

Meyer5000 aktiv_icon

20:05 Uhr, 28.05.2021

Ok, ja stimmt. Hatte da einen Dreher drin. Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Elemente stets auf verschiedene Funktionswerte abbildet.

Dies müsste hier der Fall sein, oder?

c_{1} (t)

alleine ist nicht injektiv, denn es gilt zum Beispiel

c_{1} (- 1) = 0 = c_{1} (+ 1)

.

Angenommen,

c_{2} (t)

ist injektiv, dann existiert zu jedem

t_{2} \in ℝ^{2}

höchstens ein

t_{1} \in ℝ

mit

c_{2} (t_{1}) = t_{2}

. Zu zeigen ist also

t_{1} = t_{2}

\frac{2 t_{1}}{1 + t_{1}^{2}} = \frac{2 t_{2}}{1 + t_{2}^{2}} \Leftrightarrow 2 t_{1} + 2 t_{1} t_{2}^{2} = 2 t_{2} + 2 t_{1}^{2} t_{2} \Leftrightarrow 2 t_{1} t_{2}^{2} - 2 t_{1}^{2} t_{2} + 2 t_{1} = 2 t_{2} \Leftrightarrow 2 t_{1} = 2 t_{2} \Leftrightarrow t_{1} = t_{2}

Also ist

c_{2} (t)

injektiv, also auch

c

N8eule

21:22 Uhr, 28.05.2021

Nochmals den Tipp:
Mach dir mal ein Plot, dann sollte sehr schnell ersichtlich sein, dass

c_{2}

für sich allein auch niemals injektiv sein kann.

z . B

. welche Werte

t

kommen denn in Frage für

c_{2} (t) = 0.5

?

Das ist ja eigentlich auch nicht die Aufgabenstellung.
Aufgabenstellung ist ja eigentlich, die Injektivität von

c

zu untersuchen...

PS:
Nachdem man dich schon aufmerksam gemacht hatte, sollte einem auch nicht nochmals
"(2*t)/(1+t^2) ist ja nichts anderes als sin(t)"
passieren.
Wie gesagt, gängig ist die Substitution

\frac{2 \cdot t}{1 + t^{2}} = sin (φ)

N8eule

09:07 Uhr, 29.05.2021

Um mal voran zu kommen:
Unter dem Weierstraß-Stichwort von michaL findest du ja sehr hilfreich graphisch anschauliche Unterstützung.
Mit der Substitution

c_{1} (t) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = cos (φ)

c_{2} (t) = \frac{2 \cdot t}{1 + t^{2}} = sin (φ)

kommt man anschaulich zum Winkel

φ

auf dem Einheitskreis. Ich formuliere es mal als abschnittsweise definierte Funktion:

φ (t) = {

arctan((2*t)/(1-t^2))

- π

. . . ; . . . für

t < - 1

= {- \frac{π}{2}

. . . ; . . . für

t = - 1

= {

arctan((2*t)/(1-t^2)) . . . ; . . . für

- 1 < t < 1

= {\frac{π}{2}

. . . ; . . . für

t = 1

= {

arctan((2*t)/(1-t^2))

+ π

. . . ; . . . für

1 < t

Hieraus lässt sich leicht(er) feststellen: zu jedem

t \in ℝ

gibt es einen Punkt auf dem Einheitskreis. Wer tiefer untersuchen will, wird feststellen: Die Funktion

φ (t)

ist streng monoton wachsend.
Man könnte sagen: Die Weierstraß-Substitution weist jeder reellen Zahl

t \in ℝ

eine Stelle

φ

auf dem Einheitskreis zu.

t \in ℝ

wird 'verdichtet' zu (abgebildet auf)

- π < φ < π

Wenn wir komprimieren zu, jede Zahl

t

findet seine Stelle

φ

auf dem Einheitskreis, dann sollte auch die Erkenntnis zur Injektivität nicht mehr fern sein.

ermanus aktiv_icon

11:58 Uhr, 29.05.2021

Hallo,
man kann die Injektivität auch direkt zeigen, ohne
trigonometrische Funktionen:

c (t_{1}) = c (t_{2}) \Rightarrow \frac{1 - t_{1}^{2}}{1 + t_{1}^{2}} = \frac{1 - t_{2}^{2}}{1 + t_{2}^{2}} \land \frac{t_{1}}{1 + t_{1}^{2}} = \frac{t_{2}}{1 + t_{2}^{2}}

.
Sind

t_{1}, t_{2} \neq 0

, so folgt aus beiden Gleichungen

\frac{1 - t_{1}^{2}}{t_{1}} = \frac{1 - t_{2}^{2}}{t_{2}}

und damit

t_{2} - t_{1} = (t_{1} - t_{2}) \cdot t_{1} t_{2}

.
Wäre nun

t_{1} \neq t_{2}

, dann bekäme man

t_{1} t_{2} = - 1

,
was wegen

\frac{t_{1}}{1 + t_{1}^{2}} \cdot t_{2} = \frac{t_{2}}{1 + t_{2}^{2}} \cdot t_{2}

,
dann zu

\frac{- 1}{1 + t_{1}^{2}} = \frac{t_{2}^{2}}{1 + t_{2}^{2}}

und damit zu einem Widerspruch führt ...
Gruß ermanus

Meyer5000 aktiv_icon

13:20 Uhr, 29.05.2021

Ok vielen Dank für eure Hilfen. Hat mir sehr geholfen

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