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Inkreismittelpunkt eines Dreiecks mit Vektoren R²

Schüler , 9. Klassenstufe

Tags: Inkreismittelpunkt, Vektor

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15:36 Uhr, 25.11.2016

Hallo

wie würdet ihr vorgehen, wenn ihr den Inkreismittelpunkt I des Dreiecks ABC mit

A = (- 5 | - 3), B = (6 | 0), C = (12 | 8)

berechnen solltet? Zuerst Richtungsvektoren oder so?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

16:03 Uhr, 25.11.2016

Hallo
ja zuerst die 3 Vektoren, AB, AC dann daraus wie in dem anderen post den Vektor auf der Winkelhalbierenden.
daraus die Geradengleichung, von A aus dann dasselbe mit einer anderen Ecke. dann die 2 Geraden schneiden.
Gruß ledum

Bummerang

16:05 Uhr, 25.11.2016

EDIT: war der falsche Kreis...

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16:08 Uhr, 25.11.2016

Alles klar. Ich habe es so probiert:

vec(AB)

= (9 | 0)

vec(BC)

= (6 | 8)

vec(AC)

= (15 | 8)

aber ich verstehe immer noch nicht, was es bedeutet, einen Vektor auf die Winkelhabierende zu geben?

Brauche ich jetzt den Mittelpunkt von

z . B

. vec(AB) oder wie?

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16:56 Uhr, 25.11.2016

Von deinen Vektoren stimmt nur BC
Mit Einheitsvektoren Parallelogramm bilden Gibt Punkt auf Winkelhalbierender

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17:13 Uhr, 25.11.2016

Welches Parallelogramm??

Braucht man nicht zuerst einfach nur die Seitenvektoren

\to

Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen

\to

Normalvektoren der Winkelsymmetralen

\to

Gleichungen der Winkelsymmetralen und dann der Schnittpunkt von

w (α)

und

w (β)

??

Ich stecke bei Punkt

2 . .

. bzw. 1. Warum sind meine Seitenvektoren falsch? Wenn

A = (- 3 | 0), B = (6 | 0)

und

C = (12 | 8)

vec(AB)

= B - A

= (6 | 0) - (- 3 | 0)

= (9 | 0)

vec(BC)

= (12 | 8) - (6 | 0)

= (6 | 8)

vec(AC) = vec(AB)

+

vec(BC)

= (9 | 0) + (6 | 8)

= (15 | 8)

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17:16 Uhr, 25.11.2016

Du hattest in der Aufgabenstellung andere Koordinaten für A angegeben

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17:17 Uhr, 25.11.2016

Tut mir schrecklich leid, Tippfehler...

: (

Also stimmen sie so?

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17:20 Uhr, 25.11.2016

Ja stimmt

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17:23 Uhr, 25.11.2016

Und was kann ich jetzt machen, um die Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen zu finden=

w (α) :

w (β) :

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17:26 Uhr, 25.11.2016

Jetzt bestimmst du die Einheitsvektoren von AB und von AC

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17:38 Uhr, 25.11.2016

vec(AB)

= (9 | 0)

Einheits vec(AB)

\to

(1)/((sqrt(9²))

\cdot (9 | 0) = \frac{1}{9} \cdot (9 | 0) = (1 | 0)

Einheits vec(AC)

\to

(1)/(sqrt(15²+8²))

\cdot (15 | 8) = \frac{1}{17} \cdot (15 | 8)

irgendwie kann man

\frac{1}{17}

nicht so gut mit dem Vektor multiplizieren...

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17:45 Uhr, 25.11.2016

Beide Komponenten durch

17

also heisst der zweite Einheitsvektor so

(\begin{matrix} \frac{15}{17} \\ \frac{8}{17} \end{matrix})

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17:47 Uhr, 25.11.2016

Alles klar, einfach mit Brüchen. Und was wäre der nächste Schritt, jetzt wo man die Einheitsvektoren hat?

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17:51 Uhr, 25.11.2016

Jetzt addierst du die Einheitsvektoren zu A

A + e_{1} + e_{2} = G

wobei jetzt

G

ein Punkt auf der Winkelhalbierenden ist.

Dann das selbe Spiel von

B

aus

Stephan4

17:55 Uhr, 25.11.2016

Felicialie, wenn Du nicht mit

\frac{1}{17}

multiplizieren willst, dann multipliziere beide Vektoren mit

(9 \cdot 17) = 153,

dann bekommst Du ganze Zahlen.

Das geht, denn die beiden zu addierenden Vektoren müssen nicht unbedingt die Länge 1 haben, aber sie müssen gleich lang sein, um einen Vektor in Richtung der Winkelsymmetrale zu bekommen. Zwar etwas länger, aber dafür mit ganzen Zahlen.

Übrigens: zur Schreibweise:

\vec{A B}

schreibt man her so: "vec(A B)", also mit einem Leerzeichen nach A.

"1/sqrt(9^2)*((9),(0))" wird zu

\frac{1}{\sqrt{9^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix})

(ist besser lesbar)

:-)

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18:03 Uhr, 25.11.2016

@Stephan4
das mit dem

\vec{A B}

hab ich schon lange gesucht. Danke so hab ich auch noch was gelernt.

@feliciealie
Wenn du Stephans Rat befolgst ist das ok. Aber eine Überprüfung anhand meiner Graphik funktionniert dann nicht vollständig.

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18:05 Uhr, 25.11.2016

Femat, das ist dann

(- 3 | 0) + (1 | 0) + (\frac{15}{17} | \frac{8}{17})

= (- 2 | 0) + (\frac{15}{17} | \frac{8}{17})

= (- \frac{19}{17} | \frac{8}{17}) = G

Das sieht irgendwie falsch aus...

Stephan4, danke, die Schreibweise werde ich beachten. 2. ich weiß nicht wirklich, wie das funktioniert also bleibe ich lieber bei

/ 17,

aber danke.

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18:09 Uhr, 25.11.2016

ich habe

\frac{15}{17}

mit

\frac{8}{17}

verwechselt

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18:09 Uhr, 25.11.2016

ich habe

\frac{15}{17}

mit

\frac{8}{17}

verwechselt

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18:09 Uhr, 25.11.2016

tut mir leid, meine Maus spinnt manchmal

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18:11 Uhr, 25.11.2016

Für was hat man da einen Punkt ausgerechnet, ich dachte man braucht Richtungsvektoren?

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18:12 Uhr, 25.11.2016

Nein

e_{2}

ist

(\begin{matrix} \frac{15}{17} \\ \frac{8}{17} \end{matrix})

und

G

wird

(\begin{matrix} - \frac{19}{17} \\ \frac{8}{17} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1.12 \\ 0.47 \end{matrix})

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18:14 Uhr, 25.11.2016

Der Vektor

\vec{A G}

ist jetzt der Richtungsvektor der Winkelhalbierenden.

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18:22 Uhr, 25.11.2016

Und

\vec{A G}

ist

A + G

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18:23 Uhr, 25.11.2016

@ Moderatoren
für die Ewiggestrigen Oldies wie mir wäre es hilfreich, einen Hinweis in der tollen Anleitung für Textmodus einzüfügen, dass ein Leerzeichen nötig ist zwischen den Punkten A und

B

bei der vektorschreibweise "vec(A B)"

\vec{A B}

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18:27 Uhr, 25.11.2016

\vec{A G}

ist eigentlich

G - A

also nichts addieren

Die Gleichung der Winkelhalbierenden

A + t \cdot \vec{A G}

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18:34 Uhr, 25.11.2016

OH stimmt auweia

\vec{A G} = (- 1,17 | 0,47) - (- 3 | 0)

= (2,17 | 0,47)

Winkelhalbierende:

(- 3 | 0) + t \cdot (2,17 | 0,47)

Wie berechnet man das ohn t? Soll da was rauskommen?

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18:41 Uhr, 25.11.2016

Ohne Parameter geht das nicht.
Aber wenn dir

t

nicht gefällt nimmst einen anderen Buchstaben

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18:43 Uhr, 25.11.2016

Das

t

ist schon in Ordnung so. Soll ich jetzt das gleiche mit

B

machen?

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18:43 Uhr, 25.11.2016

sorry meine Maus spinnt schon wieder (Doppelpost)

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18:49 Uhr, 25.11.2016

Ja genau
Bedenke dass

\vec{B A} = - \vec{A B}

damit hast du einen Einheitsvektor schnell gefunden

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19:00 Uhr, 25.11.2016

G

von

B

aus:

(6 | 0) + (2 | 0) + ((\frac{15}{17}) | (\frac{8}{17}))

= (\frac{7}{0}) + ((\frac{15}{17}) | (\frac{8}{17}))

= ((\frac{134}{17}) | (\frac{8}{17}))

= (7,88 | 0,47)

Und... was nun, der Einheitsvektor hiervon?

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19:09 Uhr, 25.11.2016

Was tust du da Falsch rechnen

6 + 2 = 8

nicht 7
also der Einheitsvektor Richtung A ist der gedrehte

e_{1}

e_{3} = - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix})

so und jetzt

e_{4}

bestimmen Richtung

\vec{B C}

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19:16 Uhr, 25.11.2016

schon wieder ein Tippfehler... es war eigentlich

(1 | 0)

und nicht

(2 | 0)

und

e 4

ist jetzt für was genau?

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19:24 Uhr, 25.11.2016

Wir haben keinen 2. Punkt G. Er heisst jetzt in meiner Graphik

H'

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19:33 Uhr, 25.11.2016

Moment, kannst du mir bitte sagen, was wir vorher berechnet haben? Ich dachte, dass

\vec{A G}

und

\vec{B G}

in dem Dreieck in der linken unteren Hälfte ist?

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19:34 Uhr, 25.11.2016

Wo ist

\vec{B G}

eigentlich?

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19:41 Uhr, 25.11.2016

Wir sind jetzt unten rechts bei

B

und versuchen den Punkt

H'

zu finden indem wir zu

B

den blauen Einheitsvektor

e_{3}

und gelben Einheitsvektor

e_{4}

addieren die heissen in der Grafik

f

und

e

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19:47 Uhr, 25.11.2016

Ich verstehe... und wie finden wir jetzt

e 4

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19:51 Uhr, 25.11.2016

Berechne die Länge

\vec{B C},

wenn du auf

10

kommst liegst du richtig. dann dividieren wir eben diesen Vektor durch

10

und haben

e_{4}

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19:54 Uhr, 25.11.2016

\vec{B C} = C - B

= (12 | 8) - (6 | 0)

= (6 | 8)

laut dieser Angabe

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19:57 Uhr, 25.11.2016

Ja gut und jetzt die Länge berechnen

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20:06 Uhr, 25.11.2016

Also den Einheitsvektor?

Femat aktiv_icon

20:20 Uhr, 25.11.2016

der ist das Ziel
Länge von

\vec{B C} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

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20:22 Uhr, 25.11.2016

\sqrt{100} = 10 = \vec{B C}

und mit

\vec{B C}

kann man jetzt...?

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20:24 Uhr, 25.11.2016

Jetzt dividierst du

\vec{B C}

durch

10

gibt Einheitsvektor

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20:30 Uhr, 25.11.2016

Ist die Formel nicht

\frac{1}{| \vec{a} |} \cdot \vec{a}

?

Wieso

10

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20:35 Uhr, 25.11.2016

Du kannst auch

\frac{1}{10} \cdot \vec{B C}

schreiben dann sieht es deiner Formel gleich

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20:41 Uhr, 25.11.2016

\frac{1}{10} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{10} \cdot (6 | 8) = (0,6 | 0,8)

und nun?

Femat aktiv_icon

20:50 Uhr, 25.11.2016

Jetzt rechne

B + e_{3} + e_{4} = H'

Felicialie aktiv_icon

20:54 Uhr, 25.11.2016

(6 | 0) + (- 1 | 0) + e 4 = H'

Was ist

e 4

Femat aktiv_icon

20:57 Uhr, 25.11.2016

das haben wir gerade berechnet als wir durch

10

rechneten.

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21:05 Uhr, 25.11.2016

(6 | 0) + (- 1 | 0) + (0,6 | 0,8) = (5 | 0) + (0,6 | 0,8) = (5,6 | 0,8) = H'

wunderbar und nun?

Femat aktiv_icon

21:15 Uhr, 25.11.2016

Was gibt

0 + 0.8

Felicialie aktiv_icon

21:16 Uhr, 25.11.2016

ich habe es schon bearbeitet, tut mir leid...

was muss man jetzt machen?

und ist

e 1

eigentlich

b

oder

a

in der Zeichnung?

Femat aktiv_icon

21:17 Uhr, 25.11.2016

Jetzt Geradengleichung durch

B

und

H'

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21:27 Uhr, 25.11.2016

B + t \cdot \vec{B H'}

(6 | 0) + t \cdot \vec{B H'}

\vec{B H'} = H' - B

= (5,6 | 0,8) - (6 | 0)

= (- 0,4 | 0,8)

(6 | 0) + t \cdot (- 0,4 | 0,8)

so richtig?

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21:30 Uhr, 25.11.2016

sehr gut
Und nun brauchen wir den Schnittpunkt beider Winkelhalbierenden

Felicialie aktiv_icon

21:34 Uhr, 25.11.2016

Hui, und wie finden wir den heraus?

Femat aktiv_icon

21:49 Uhr, 25.11.2016

w_{1} : (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{32}{17} \\ \frac{8}{17} \end{matrix})

w_{2} : (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.4 \\ 0.8 \end{matrix})

Wir stellen ein Gleichungssystem auf
Alles was oben steht ist für den x-Wert des Schnittpunkts
Alles was unten steht ist für den y-Wert des Schnittpunkts

- 3 + t \cdot \frac{32}{17} = 6 - 0.4 s

Probier mal die untere Gleichung

Felicialie aktiv_icon

21:58 Uhr, 25.11.2016

Mit zwei Variablen? Was rechnet man jetzt genau aus? Den x-wert?

Ist dann

0 + t \cdot \frac{8}{17} = 0 + s \cdot 0,8

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22:00 Uhr, 25.11.2016

jawoll gut gemacht

Hast du eine Ahnung, wie man das Gleichungssystem löst und damit

s

und

t

bestimmt?

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22:02 Uhr, 25.11.2016

danke! ich kann gleichungssysteme nur entweder mit 1 variablen oder eben mit zwei variablen UND zwei verschiedenen gleichungen lösen. ich müsste morgen darüber reden, also geht es mit nur 1 variabel und 1 gleichung nicht...

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22:04 Uhr, 25.11.2016

Wir haben 2 Gleichungen (zwei Winkelhalbierende) und 2 Variablen

(s

und

t)

Felicialie aktiv_icon

22:09 Uhr, 25.11.2016

dann

\cdot 2

und addieren

(i)

- 6 + 2 t \cdot \frac{32}{17} = 12 - 0,8 s

(ii)

0 + t \cdot \frac{8}{17} = 0 + 0,8 s

- 6 + 3 t \cdot \frac{40}{17} = 12 + 0

soweit richtig?

Femat aktiv_icon

22:17 Uhr, 25.11.2016

Die Addition der

/ 17

stimmt nicht ganz
es gibt

- 6 + \frac{72}{17} t = 12

Felicialie aktiv_icon

22:23 Uhr, 25.11.2016

dann

\frac{77}{17} t = 18 | : \frac{77}{17}

t = 3,9740

dann einfach einsetzen:

3,97 \cdot \frac{8}{17} = 0,8 s

1,868 = 0,8 s | : 0,8

2,3 = s

also

(4 | 2)

Femat aktiv_icon

22:26 Uhr, 25.11.2016

Die

\frac{77}{17} t

stimmen nicht. das

+ 6

hast du gut gemacht.
Nachbessern!

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22:30 Uhr, 25.11.2016

Ich habe es verbessert!

t = 4,25

s = 2,5

so richtig?

Femat aktiv_icon

22:31 Uhr, 25.11.2016

Bravissima!!!!!

Jetzt noch ein Schritt zum Ziel

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22:32 Uhr, 25.11.2016

Wow!

Also

I

= (4,25 | 2,5)

Femat aktiv_icon

22:36 Uhr, 25.11.2016

Nein
Setz mal hier das

s

ein

(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 0.4 \\ 0.8 \end{matrix})

dann hast du den Schnittpunkt

Felicialie aktiv_icon

22:39 Uhr, 25.11.2016

Also ist der Inkreismittelpunkt

(- 4 | 2)

Femat aktiv_icon

22:43 Uhr, 25.11.2016

Nein

Es muss auch mit

t

einsetzen in

(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{32}{17} \\ \frac{8}{17} \end{matrix})

gehen

Die Lösung siehst du auch in der Grafik Punkt

J

Kreismittelpunkt

Felicialie aktiv_icon

22:48 Uhr, 25.11.2016

Es ist dann

(5 | 2)

und es stimmt... wow danke

aber für was wurde der Schnittpunkt berechnet? Welcher Punkt ist das in der Grafik?

Femat aktiv_icon

22:50 Uhr, 25.11.2016

Das ist der Kreismittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Felicialie aktiv_icon

22:52 Uhr, 25.11.2016

Welchen Buchstaben hat der? Und wozu braucht man ihn?

Femat aktiv_icon

22:56 Uhr, 25.11.2016

Den Buchstaben weiss ich nicht sicher. Könnte

z . B

M_{i}

sein.
Es ist der Punkt der zu allen drei Seiten gleichen Abstand hat.

Felicialie aktiv_icon

22:57 Uhr, 25.11.2016

VIELEN VIELEN DANK

Femat aktiv_icon

23:02 Uhr, 25.11.2016

Bitte gern geschehen
Bitte den Thread abschliessen und abhaken.
Good Night

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23:05 Uhr, 25.11.2016

das war soo ein langer prozess haha danke, gute nacht dir auch!

Stephan4

07:32 Uhr, 26.11.2016

Wie ich schon zuvor angemerkt habe, bekommt man einen Richtungsvektor der Winkelsymmetrale auch, wenn man die beiden Vektoren, jeweils mit der Länge des anderen Vektors multipliziert, zusammenzählt:

\vec{A B} \cdot \bar{A C} + \vec{A C} \cdot \bar{A B} = \vec{w_{A}}

(\begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix}) \cdot 17 + (\begin{matrix} 15 \\ 8 \end{matrix}) \cdot 9 = (\begin{matrix} 288 \\ 72 \end{matrix})

par. zu

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = \vec{w_{A}}

Für

\vec{A I}

muss das mit einer noch unbekannten Zahl

s

multipliziert werden. Dieses

s

ist zu finden. I ist der gesuchte Mittelpunkt des Inkreises.

Mit

\vec{w_{B}}

geht das genauso:

(\begin{matrix} - 9 \\ 0 \end{matrix}) \cdot 10 + (\begin{matrix} 6 \\ 8 \end{matrix}) \cdot 9 = (\begin{matrix} - 36 \\ 72 \end{matrix})

par. zu

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}) = \vec{w_{B}}

Für die Bestimmung von

s

kann man der Einfachheit halber die Tatsache ausnützen, dass die Projektionen der Vektoren

\vec{A I}

und

\vec{A B}

auf die Normale von

\vec{w_{B}}

gleich sind.

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

9 s = 18 \to s = 2

Damit erhält man

\vec{A I}

und hängt ihn an A an.

(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = I

Ob dieser Weg wirklich einfacher ist, kann vermutet werden. Vielleicht ist er sogar kürzer. Geschmacksache.

:-)

Femat aktiv_icon

09:41 Uhr, 26.11.2016

Interessant
Aber für mich ist die Einheits-Parallelogrämmchen-Methode anschaulicher.
Man braucht ja Winkelhalbierenden nicht nur in Dreiecken.
Gefallen hat mir, wie du

s

bestimmst mit dem Projektionshinweis.
Ich habe in dieser Fleissübung mindestens 2 Dinge von dir gelernt = Erfolg
Dafür Dank und herzliche Grüsse

\vec{F E M A T}

Stephan4

10:20 Uhr, 26.11.2016

Antwort

:_{a n F e m a t}^{v o n S t e p h a n}

Wie gesagt, es ist Geschmacksache.

Die einen wollen anschauliche und nachvollziehbare Rechenwege, und die anderen wollen mit fertigen Formeln, einfach zum Einsetzen, schnell zu einem gefragten Ergebnis kommen.

Wie zum Beispiel wird mit

\frac{\bar{B C} \cdot \vec{A} + \bar{A C} \cdot \vec{B} + \bar{A B} \cdot \vec{C}}{\bar{B C} + \bar{A C} + \bar{A B}}

die Ermittlung des Mittelpunkts des Inkreises eines Dreiecks

M_{{(I)}_{Δ}}

ein Einzeiler:

\frac{10 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \end{matrix}) + 17 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) + 9 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 8 \end{matrix})}{10 + 17 + 9} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = I

und mit dem großen Einmaleins im Kopf sogar ohne TR bewältigbar.
;-)

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