 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Innere, Abschluss, Rand bestimmen
Innere, Abschluss, Rand bestimmen
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Abschluss, innere, Mengentheoretische Topologie, Rand
 
|
  |
|---|
|
Hallo! Ich sitze gerade an einer Aufgabe und bräuchte etwas Beistand. Nun erstmal zum Vorwissen: Eine Teilmenge ist abgeschlossen, falls das Komplement offen ist und somit Element der Topologie. Eine triviale Topologie besteht aus der leeren Menge und einer nicht leeren Menge. Die diskrete Topologie besteht aus der Potenzmenge. Bei der kofiniten Topologie besteht das Komplement aus endlich vielen Punkten. Bei der euklidischen Topologie bin ich mir unsicher, aber ich glaube dass die Menge einfach aus besteht. Das Innere ist die Menge aller inneren Punkte, also allen Punkten die in einer Umgebung von der Menge liegen. Die Menge aller Randpunkte ist der Rand, also alle Punkte die weder innerer oder äußerer Punkt sind, also die Schnittmenge der Umgebung und der Menge leer ist und somit auch die Schnittmenge der Umgebung und des Komplements leer ist. Der Abschluss ist die Vereinigung der Menge und des Randes. So, das ist mein momentanes Wissen zur Aufgabe. Ich frage mich jetzt, wie ich das Wissen nun auf die Aufgabe anwende? Für die euklidische Topologie habe ich folgende Idee: Das Innere ist gleich der Menge und der Rand besteht aus der Menge . Ist somit dann auch der Abschluss die Menge selbst? Bei den anderen Topologien komme ich auch nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir bei den Aufgaben helfen. Danke im Voraus!!!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Die Euklidische Topologie ist die "gewöhnliche" Topologie, wo also offene Mengen offene Intervalle und deren beliebige Vereinigungen sind. Der Abschluss von ist in diesem Fall , denn ist ein Häufungspunkt von als Folge betrachtet. Das Innere von ist leer, denn enthält kein offenes Intervall. In der trivialen Topologie enthält keine nicht-leere offene Mengen (denn die einzige nicht-leere offene Menge ist, damit ist das Innere von leer. Der Abschluss von ist die kleinste abgeschlossene Menge, die enthält, und das ist , denn in der trivialen Topologie gibt's nur zwei abgeschlossenen Mengen: leere Menge und . |
|
|
|
Hallo, "Bei der euklidischen Topologie bin ich mir unsicher, aber ich glaube dass die Menge einfach aus R besteht." Nein. Es handelt sich hier um die Standardtopologie, deren typische offene Mengen die offenen Intervalle und deren Vereinigungen sind. "Das Innere ist die Menge aller inneren Punkte, also allen Punkten die in einer Umgebung von der Menge liegen." Nein. Die inneren Punkte sind solche, für die auch eine ganze Umgebung in der Menge liegt. "... also die Schnittmenge der Umgebung und der Menge leer ist und somit auch die Schnittmenge der Umgebung und des Komplements leer ist." Nein. Der Rand besteht aus allen Punkten, für die gilt, dass jede Umgebung sowohl einen Punkt der Menge als auch einen Punkt des Komplements enthält. Also überall "nicht leer" statt "leer". Soweit erst mal. Was hast du denn bein 1. schon herausgefunden ? Übrigens: wie lautet die Aufgabe 2? Gruß ermanus Oh, sehe gerade, dass DrBoogie schneller war. |
|
|
|
In der diskreten Topologie sind alle Mengen offen und abgeschlossen. Damit ist das Innere von und der Abschluss von beide gleich . In der kofiniten Topologie enthält keine offenen Teilmengen, also ist das Innere leer. Abgeschlossen sind nur endlichen Mengen oder selbst. Damit ist Abschluss von gleich . Den Rest schaffst du selbst. |
 |
|
Zunächst danke für deine Antwort. Wie sieht es mit dem Rand aus? Wäre das richtig? |
|
|
|
Rand ist Abschluss \ Innere (Differenz der Mengen). Also sind deine Antworten nicht immer richtig. |
|
|
|
Der Rand ist doch bei der trivialen, konfiniten und diskreten Topologie leer oder ? |
|
|
|
Nein |
|
|
|
hmm..okey ich versuchs mal nochmal: vereinigt mit |
|
|
|
Ist das auf den Rand bezogen ?, wenn ja wie kommst du darauf. |
|
|
|
In der diskreten Topologie ist der Rand leer, weil Rand(Y)= (Abschluss minus Innere) und bei der diskreten Topologie . In der trivialen Topologie gilt . Usw. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1533787
1533685