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Innerer Punkt mindestens einer der Mengen . Beweis

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: innerer Punkt, Mengentheoretische Topologie, offene Mengen

Mathe-Lo aktiv_icon

19:54 Uhr, 04.05.2020

Sei

(X, d)

ein vollstandiger metrischer Raum und (An)n∈N eine Folge abgeschlossener Mengen mit:

X = ⋃_{n \in ℕ} A_{n}

Zeige, dass mindestens eine der Mengen An einen inneren Punkt hat .

Meine Idee : Selbst

X

ist offen und geschloßen gleichzeitig (haben wir in der Vorlesung gesagt ). Da die Vereinigung gleich

X

ist, ist auch die Vereinigung offen und geschlossen gleichzeitig . D.h. es gibt ein innerer Punkt

y

X

als auch in der Vereinigung , sodass für

ε > 0

, gilt

U_{ε} = {x \in X ∣ d (x, y) < ε}

. Jetzt sollen wir nun zeigen , dass beide

x

und

y

in der selben Menge liegen , sodass dieses

y

ein innerer Punkt mindesters einer der Mengen ist .
Wäre sehr dankbar für euere Ideen . :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

23:26 Uhr, 04.05.2020

Hallo,

vielleicht geht es ja so (bitte kritisch betrachten !):
Ich will die Aussage, dass kein

A_{n}

einen inneren Punkt besitzt,
zum Widerspruch führen.
Nehmen wir allso an, dass jedes

x \in X

für jedes

n

kein innerer
Punkt von

A_{n}

ist.
Sei nun

x \in X

beliebig. Dann ist für jedes

n \in ℕ

und
beliebiges

ε > 0

die Menge

U_{ε} (x) \cap (X \ A_{n}) \neq \emptyset,

folglich

x \in \partial (X \ A_{n}) = \partial A_{n} \subseteq A_{n}

, letzteres, da

A_{n}

abgeschlossen ist. Dies gilt für alle

n

, also

insbesondere

x \in A_{1}

. Da

x \in X

beliebig war, folgt

X \subseteq A_{1}

,
also besitzt

A_{1}

innere Punkte, Widerspruch!

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

00:02 Uhr, 05.05.2020

Leider ist noch ein Denkfehler drin :(

tobit aktiv_icon

08:09 Uhr, 05.05.2020

Hallo zusammen,

die Aussage aus der Aufgabenstellung ist in dieser Allgemeinheit falsch. Gegenbeispiel:

X = \emptyset

d

die eindeutig bestimmte Abbildung

d : \emptyset \to ℝ

A_{n} = \emptyset

für alle

n \in ℕ

.

Ich würde den Dozenten daher freundlich um eine Korrektur der Aufgabenstellung bitten. Möglicherweise lässt sich die Aufgabe retten, wenn man

X

als nichtleer voraussetzt.

Viele Grüße
Tobias

ermanus aktiv_icon

08:43 Uhr, 05.05.2020

Hallo,

setzen wir also Dank Tobias voraus, dass

X \neq \emptyset

ist.
Bisher wurde die Vollständigkeit von

X

nicht berücksichtigt.
Folgendes Beispiel zeigt, dass sie eine notwendige Voraussetzung ist:

sei

X = [0, 1] \cap ℚ

mit der üblichen Metrik. Dann ist

X = ⋃_{x \in X} {x}

. Das ist eine abzählbare Vereinigung
abgeschlossener Mengen, die alle keine inneren Punkte enthalten.

Gruß ermanus

Mathe-Lo aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.05.2020

Stimmt . Danke

Mathe-Lo aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.05.2020

Danke für die Hilfe :-)

ermanus aktiv_icon

12:37 Uhr, 05.05.2020

Hallo,

leider kann ich keine Lösung anbieten, da ja mein erster
Versuch gescheitert ist.
Wir wollen mal

X \neq \emptyset

grundsätzlich vorauetzen.
Für endlich viele abgeschlossene Mengen ist die Geschichte recht
einfach:

Sei

X = A_{1} \cup \dots \cup A_{n}

, so dass hier keines der

A_{i}

weggelassen werden
kann. Dann ist

X \ (A_{1} \cup \dots \cup A_{n - 1}) \subseteq A_{n}

.
Da endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind,
ist

X \ (A_{1} \cup \dots \cup A_{n - 1}) \neq \emptyset

offen,
d.h.

A_{n}

enthält innere Punkte.
Leider lässt sich dies nicht auf eine unendliche Folge
abgeschlossener Mengen übertragen.

Gruß ermnus

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