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Inneres und Abschluss
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Abschluss, Inneres, Mengentheoretische Topologie, Mengentheorie
 
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Hallo, hab eine Verständisfrage zu Innerem und Abschluss einer Menge. Also, wir haben sie so definiert: Inneres ist die größte offene Menge, welche in X enthalten ist, der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge welche X enthält. Beim Abschluss haben wir außerdem bewiesen, dass er aus X mit all seinen Häufungspunkten besteht. Also ist z. B. der Abschluss von einfach die Menge vereinigt mit , weil ja 0 der Häufungspunkt der Menge ist. Wie sieht das aber jetzt aus, wenn ich z. B. den Abschluss von ermitteln möchte? Ich weiß, dass das Innere aus allen inneren Punkten von besteht, heißt das also, dass ich einfach das Supremum aus der Menge ausschließe und damit das Innere bekomme? Vielen Dank für eure Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Wie sieht das aber jetzt aus, wenn ich z. B. den Abschluss von X={,n∈ℕ} ermitteln möchte? Das hast du doch oben selbst geschrieben: Der Abschluss ist . Solltest du den offenen Kern gemeint haben, so bedenke, dass alle Elemente von "ziemlich" weit voneinander entfernt sind, in dem Sinne, dass zwischen je zwei Elementen von stets noch andere reelle Zahlen verortet sind. Soll heißen: Jedes Element ist quasi eine Insel im Meer der reellen Zahlen. Mfg Michael |
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ja sorry, meinte den offenen Kern :-D) Ok, aber ich betrachte ja eigentlich nur die Menge selbst - daher kann natürlich kein Intervall das Innere von X sein. Meine Idee wäre eben hier gewesen, dass die Menge das Innere darstellt, weil sie ja die größte offene Menge in X ist. Oder ist das falsch? |
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Hallo, ich muss zugeben, dass die Antwort von der Grundmenge und natürlich von der verwendeten Topologie abhängt. Ich habe mal angenommen, dass die zugrunde liegende Menge und die Topologie die übliche, von der Betragsmetrik erzeugte ist. Dann ist der offene Kern von leer. Warum? Jeder Punkt von ist (dann) ein Randpunkt. Es gilt: Bezeichnet für eine Menge das Symbol den Rand von , so gilt: und . Es kommt also "nur" darauf an, die Randpunkte ermitteln zu können. Da bei (und der hinein interpretierten Topologie) alle Punkte Randpunkte sind... Mfg Michael |
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Ok, das würde also heißen ich muss also immer untersuchen, ob es "Lücken" im entsprechenden Intervall gibt. Wenn ich also z. B. die Menge hernehme, sehe ich, dass nicht alle Punkte des Intervalls in der Menge liegen, also sozusagen Lücken vorhanden sind. Kann ich mir das so vorstellen? Wäre dann also z. B. auch der Abschluss von gleich der leeren Menge, weil ja die reellen Zahlen "fehlen"? |
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Hallo, > Ok, das würde also heißen ich muss also immer untersuchen, ob es "Lücken" im entsprechenden Intervall gibt. In diesem Fall ja, generell ist mir das zu stark vereinfacht. > Wäre dann also z. B. auch der Abschluss von ℚ gleich der leeren Menge, weil ja die reellen Zahlen "fehlen"? In : nein. Die rationalen Zahlen liegen dicht in , d.h. . Kann es sein, dass du hier wieder den offenen Kern meinst? (Denn stets gilt ja . Und da gilt, kann nicht leer sein.) Tatsächlich gilt in . Wie gesagt: Es kommt auf den Rand einer Menge an. Ihr habt vermutlich den Abschluss als die Menge aller Berührpunkte einer Menge definiert, gell? Der Rand ist die Menge aller Berührpunkte der Menge und ihres Komplements. Auch im Falle (in ) sind alle Punkte Randpunkte! (Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer (mindestens) eine irrationale, zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt immer (mindestens) eine rationale!) Achtung: Alle Punkte sind Randpunkte, aber nicht alle Randpunkte sind gerade die rationalen Zahlen! Im Falle liegen die Punkte (Zahlen) gerade so, dass alle(!) Punkte Randpunkte von sind: sowohl selbst, als auch . ( liegt dicht in .) Mfg Michael |
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Ja tut mir Leid, war wieder das Innere gemeint ... Weiß auch nicht warum ich ständig Abschluss schreibe ^^ Aber im Falle dass es sich um mit der Abstandsfunktion als Metrik handelt ist das mit den Lücken so richtig oder? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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