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Integral: Runde Brosche aus Gold

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Sonstiges

Tags: Sonstig Integralrechnung

Nobody9512 aktiv_icon

18:15 Uhr, 26.05.2019

Aufgabe:

Ein Goldschmied möchte für seine Schmuckkollektion eine neue kreisförmige Brosche entwickeln.

a)

Die Form der Trennlinie zwischen den beiden Teilen der
Brosche entspricht der in der Abbildung 1 dargestellten
Funktion

f (x)

. Die Achseneinheiten entsprechen jeweils 1 cm.
Bestimmen Sie die Funktion 3. Grades

f (x),

die den Verlauf der
in der Graphik dargestellten Trennlinie beschreibt.
Dokumentieren Sie auch Ihren Ansatz und Lösungsweg!

a)

f (x) =

1/8·x ·

(x^{2} - 3^{2}) = = = f (x) = 0,125 x^{4} - 1,125 x^{2}

(Ergebnis durch LGS)

c)

Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der
durch

f (x)

beschriebenen Trennlinie eine zweite Linie angebracht,
die durch die Funktion

g (x) =

a∙

f (x), a

≥ 1 beschrieben wird.
Bestimmen Sie den Faktor a so, dass der Flächeninhalt der in
Abbildung 2 markierten Fläche zwischen den beiden Trennlinien

1,62

cm² beträgt.

c)

Versuch zu

99,99 %

falsch

1,62 =

∫ a∙

(0,125 x^{4} - 1,125 x^{2})

Ich bin hier unsicher, ob ich hier überhaupt die Fläche/Integral bestimmen muss.

1,62 =

a∙

(0,125 x^{4} - 1,125 x^{2})

d)

Der Abbau von Gold steht wegen der damit verbundenen Umweltbelastung zunehmend in
der Kritik. Der Goldschmied erhöht daher die Nutzung von Altgold für seine
Schmuckproduktion. Als er den Betrieb vor

10

Jahren übernommen hat, wurden pro Jahr

300 g

Reingold aus Minenproduktion verbraucht. Seither wurde dieser Wert stetig um

10 %

jährlich gesenkt. Wie viel Gold aus Minenproduktion wird aktuell für die Produktion in der
Goldschmiede verbraucht? Wie viel Gold aus Minenproduktion wird die Goldschmiede
insgesamt benötigen, wenn der Betrieb ewig weiter betrieben wird und die Reduktion des
Verbrauches in gleicher Weise weitergeführt wird?

Das ist doch Geometrische Folge und

n \to

∞?

a)

an=

a 1 \cdot q^{n - 1} = 300 \cdot 0,90 = 116,23

b) \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - 0,9} = 10

Was hab ich falsch gemacht?

Danke für eure Hilfe!!!!

Atlantik aktiv_icon

19:29 Uhr, 26.05.2019

a)

Lösung über die Nullstellenform der Parabel:

f (x) = a \cdot (x - N_{1}) \cdot (x - N_{2}) \cdot (x - N_{3})

N_{1} (- 3 | 0), N_{2} (0 | 0)

und

N_{3} (3 | 0)

f (x) = a \cdot (x + 3) \cdot (x) \cdot (x - 3)

P (1 | - 1)

f (1) = a \cdot (1 + 3) \cdot (1) \cdot (1 - 3)

a \cdot (4) \cdot (1) \cdot (- 2) = - 1

- 8 a = - 1

a = \frac{1}{8}

f (x) = \frac{1}{8} \cdot (x + 3) \cdot x \cdot (x - 3) = \frac{1}{8} \cdot x \cdot (x^{2} - 9) = \frac{1}{8} \cdot x^{3} - \frac{9}{8} x

Du hast wahrscheinlich unbeabsichtigt das

x^{4}

drin.

mfG

Atlantik

Roman-22

19:49 Uhr, 26.05.2019

a)

> f (x) =

1/8·x · (x2−32)===f(x)=0,125x4−1,125x2 (Ergebnis durch LGS)
Grundsätzlich offenbar richtig gelöst, aber beim ausmultiplizieren hast du plötzlich jeweils ein

x

zu viel. Richtig wäre daher

f (x) = 0,125 \cdot x^{3} - 1,125 \cdot x

Atlantik hats dir auf eine andere Art vorgerechnet, aber Achtung - sein a hat nichts mit dem in

c)

gesuchten a zu tun.

ad

c)

>

Versuch zu

99,99 %

falsch
Runden wir auf ;-)

> 1,62 =

∫ a∙ (0,125x4−1,125x2)
Abgesehen davon, dass du von der falschen Funktionsgleichung (siehe

a))

ausgehst, fehlen einerseits die Integrationsgrenzen und dann integrierst du ja offenbar nur

g (x)

. Es ist aber nicht die Fläche zwischen

g (x)

und der x-Achse gesucht, sondern zwischen den Graphen von

g (x)

und

f (x)

>

Ich bin hier unsicher, ob ich hier überhaupt die Fläche/Integral bestimmen muss.
Ja, doch, natürlich. Aber richtig! Beachte, dass du bei der Berechnung von Flächen einerseits nicht über die Nullstellen des Integranden (also die Schnittstellen der beiden Graphen) drüberintegrieren darfst und dass du vom Ergebnis den Betrag nehmen musst, da eine Fläche immer positiv ist. So gesehen gibt es zwei Lösungen für

a,

aber nur eine, für die

a \geq 1

gilt.
Du solltest die Symmetrie ausnutzen und nur eine Hälfte betrachten.
Zu deiner Kontrolle:

a = \frac{33}{25} = 1,32

d)

>

Das ist doch Geometrische Folge
Nein! Eine GF ist eine diskrete Angelegenheit. In der Angabe steht aber, dass der Abbau stetig gesenkt wird.

\to

Exponentialfunktion, wie du das vermutlich ähnlich zigfach von Wachstums- und Zerfallsvorgängen kennst.

Bei deiner Annahme einer GF hast du bei

d 2)

bei der Berechnung der unendlichen GR den Fehler gemacht, dass du nicht mit dem Anfangswert

300 g

multipliziert hast. Du wärst sonst auf 3 kg gekommen.
Die Ergebnisse beim Ansatz mit einer Exponentialfunktion liegen in der Größenordnung bei den von dir ermittelten, sind aber natürlich etwas kleiner

\to d 1) 104,60 g

und

d 2) 2,847 k g

Nobody9512 aktiv_icon

21:43 Uhr, 26.05.2019

Ich verstehe bei

c)

noch nicht so richtig was ich, da jetzt rechnen muss.

Roman-22

21:50 Uhr, 26.05.2019

>

Ich verstehe bei

c)

noch nicht so richtig was ich, da jetzt rechnen muss.
Wie berechnest du denn die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen?

Nobody9512 aktiv_icon

22:09 Uhr, 26.05.2019

gleichsetzen und ausrechen
aber was ist denn, die Funktionsgleichung von

g (x)

Roman-22

22:36 Uhr, 26.05.2019

>

gleichsetzen und ausrechen
?????????????
Was gleichsetzen und was ausrechnen ??
Wenn du es nicht weißt, mach dich schlau

\to

zB www.mathe-lerntipps.de/flaeche-zwischen-zwei-graphen

>

aber was ist denn, die Funktionsgleichung von

g (x)

?
Steht doch in der Angabe!

g (x) := a \cdot f (x)

mit einem

a \geq 1

Und a ist eben ein Parameter, der so gewählt werden soll, dass die Fläche zwischen den beiden Graphen den vorgegebenen Wert hat.
Diesen Parameter schleppst du in deiner Rechner einfach immer mit.

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