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Integral-Ungleichung beweisen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Ungleichung

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Blackparrot

Blackparrot aktiv_icon

17:40 Uhr, 09.05.2017

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Hallo zusammen,

ich habe folgende Ungleichung zu zeigen:

{(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} {f (x)}^{2} d x

wobei

f : [0,1] \to R

stetig ist.

{(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2}

aufgelöst ergibt mit dem Hauptsatz der D/I-Rechnung:

F {(1)}^{2} - 2 F (1) F (0) + F {(0)}^{2}

(wenn

F

eine Stammfunktion von

f

ist). Wie aber kann ich das zweite Integral auf der rechten Seite lösen?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Apfelkonsument

Apfelkonsument aktiv_icon

18:28 Uhr, 09.05.2017

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Hi,

verwende die Höldersche Ungleichung bzw. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, indem du künstlich mit der konstanten Einsfunktion multiplizierst.

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:46 Uhr, 09.05.2017

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Das ist im Prinzip nur Cauchy-Schwarz. Falls nicht bekannt, kannst du den Beweis leicht kopieren: Wegen

{(a - b)}^{2} \geq 0

gilt

a b \leq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})

für alle

a, b \in ℝ

. OBdA sei

f

nicht konstant null. Mit

a = \frac{f (x)}{{(\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x)}^{\frac{1}{2}}}

und

b = 1

folgt

\frac{f (x)}{{(\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x)}^{\frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{2} (\frac{f^{2} (x)}{\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x} + 1)

. Integration dieser Ungleichung von 0 bis 1 liefert

\frac{\int_{0}^{1} f (x) d x}{{(\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x)}^{\frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{2} (1 + 1) = 1,

also

{(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x

.

Frage beantwortet

Blackparrot

Blackparrot aktiv_icon

19:32 Uhr, 09.05.2017

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Vielen Dank Shipwater, vielen Dank Apfelkonsument! Damit wäre ich aufgeklärt :-)

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