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Integral auflösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Integralrechnung

mathealwi aktiv_icon

14:16 Uhr, 26.10.2020

Wer kann mir bei der Auflösung dieses Integrals weiterhelfen,

Beide Faktoren (Wurzelfunktion und Arccos-Funktion) einzeln zu integrieren
war kein Problem.

Ich selber hab es schon mit folgendem versucht:
- Partielle Integration, Aufgabe ist nicht einfacher geworden.

Eine schrittweise Lösung wäre super.
Besten Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

14:20 Uhr, 26.10.2020

Du kannst ein konkretes

R

nehmen, z.b.

R = 2

und hier den Rechenweg abfragen:
www.integralrechner.de
Es ist ziemlich langwierig und technisch. Die Grundidee ist die Substitution

u = \arccos (x / R)

HAL9000

10:45 Uhr, 27.10.2020

Crossposting: www.matheboard.de/thread.php?threadid=597176

michaL aktiv_icon

16:52 Uhr, 29.10.2020

Hallo,

> Es ist ziemlich langwierig und technisch. Die Grundidee ist die Substitution u=arccos(x/R).

Und trotzdem kann man das ganze leicht erklären (finde ich).

Du kannst das

R

aus der Wurzel vor das Integral ziehen, womit die Rechnerei nachher vereinfacht wird:

I := \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2} - x^{2}} \arccos (\frac{x}{R}) d x = R \cdot \int_{0}^{R} \sqrt{1 - {(\frac{x}{R})}^{2}} \arccos (\frac{x}{R}) d x

Desweiteren vereinfacht man das Integral, indem man die

x

-Achse streckt um den Faktor

R

, d.h. man substituiert

z = \frac{x}{R} \Rightarrow d z = \frac{1}{R} d x

. Grenzen substiruieren wir am besten mit:

z_{u} = \frac{0}{R} = 0

z_{o} = \frac{R}{R} = 1

I = R^{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - z^{2}} \arccos (z) d z

Finde, es sieht schon weniger eklig aus. Au0erdem sieht man hier (?), dass

\arccos ʹ (z) = - \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}

gilt, d.h. wir können das Integral auch wie folgt schreiben:

I = - R^{2} \int_{0}^{1} (1 - z^{2}) \cdot \arccos (z) \cdot (\arccos ʹ (z) d z)

Nun kommt also die Substitution zum Tragen, von der DrBoogie sprach, damit der leidige Arkusterm verschwindet:

t = \arccos (z) \Rightarrow d t = \arccos ʹ (z) d z

(Grenzen kann man auch hier wieder schön mitsubstituieren, also sollte man das am besten auch machen:-)

t_{u} = \arccos (0) = \frac{π}{2}

t_{o} = \arccos (1) = 0

Außerdem:

t = \arccos (z) \Rightarrow z = \cos (t) \Rightarrow \sqrt{1 - z^{2}} = \sin (t)

\Rightarrow I = R^{2} \int_{0}^{\frac{p i}{2}} t \cdot \sin (t) d t

So, zwar sind wir noch nicht fertig, aber das letzte Integral ist per partieller Integration zugänglich. Ich denke, mit der darf ich dich allein lassen oder?

Mfg Michael

mathealwi aktiv_icon

11:07 Uhr, 30.10.2020

Danke Michael, ab hier komm ich zurecht...

Shipwater aktiv_icon

11:46 Uhr, 30.10.2020

Kleine Bemerkung: Das letzte Integral müsste

R^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} t \cdot {sin}^{2} (t) d t

heißen. Das passt dann auch mit dem Beitrag aus dem Matheboard.

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