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Integral bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration

TheOne123 aktiv_icon

17:41 Uhr, 22.02.2021

HI,
ich möchte folgendes Integral bestimmen, bzw. die Stammfunktion bilden:

\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3} + 2} d x

Ich versuche gerade erstmal rauszufinden wie genau ich die aufleiten kann.
Ich habe den Term nun so umgeschrieben:

\int_{0}^{1} {(x^{3} + 2)}^{- 1} \cdot x^{2} d x

Mein erster Gedankee war Partielle Integration wobei ich dann

u = x^{2}

und

v' = {(x^{3} + 2)}^{- 1}

setze.Dann müsste ich 2 mal partiell integrieren um das

x^{2}

los zu werden. Ist der Ansatz richtig?

Falls ja, weiß ich aber nicht, wie ich

v'

aufleite... Da bräuchte ich etwas Hilfe.

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

supporter aktiv_icon

17:53 Uhr, 22.02.2021

Im Zähler steht die Ableitung den Nenners, wenn man ihn mit

\frac{1}{3}

multipliziert.

\to

Stammfunktion:

\frac{1}{3} \cdot ln (x^{3} + 2) + C

Geht also hier ganz einfach. :-)

ermanus aktiv_icon

17:58 Uhr, 22.02.2021

Dahinter steckt die Kettenregel:

(\ln (f (x))) ʹ = \frac{1}{f (x)} \cdot f ʹ (x)

TheOne123 aktiv_icon

18:20 Uhr, 22.02.2021

ich habe mir das jetzt etwas angeguckt aber ich verstehe nicht ganz wie du nur auf die

\frac{1}{3}

kommst in der stammfunktion.

Wenn ich die Kettenregel anwende, bekomme ich immer

\frac{1}{3} x^{2} \cdot ln (x^{3} + 2)

.
wobei ich mir bei der anwendung der kettenregel auch etwas unsicher bin.

Kannst du das etwas kleinschrittiger aufschreiben, mit kleinen erklärungen der schritte?
wie das

ln

zustande kommt ist mir auch nicht zu

100 %

klar.

Moment,war das von dir die Stammfunktion für die ganze aufgabe oder für

v'

HAL9000

18:51 Uhr, 22.02.2021

> Wenn ich die Kettenregel anwende, bekomme ich immer

\frac{1}{3} x^{2} \cdot \ln (x^{3} + 2)

.

Wir wären wesentlich schlauer, wenn du auch verraten würdest, welche Funktion GENAU du da abgeleitet haben willst, um auf dieses Ergebnis zu kommen (Irgendwie eine leider weit verbreitete Unsitte nur Terme hinzuwerfen, wo vollständige Gleichungen angebracht sind.)

TheOne123 aktiv_icon

19:14 Uhr, 22.02.2021

Wenn ich

v'

ableite, bekomme ich die

v = \frac{1}{3 x^{2}} ln (x^{3} + 2)

. Das hätte ich besser kommunizieren sollen, sry.

Ich möchte, wie eingangs schon erwähnt, die Stammfunktion von

\frac{x^{2}}{x^{3} + 2}

bestimmen.

Mir ist immer noch nicht klar, ob mein ansatz mit der partiellen integration richtig ist oder nicht.

falls er richtig ist, würde ich gerne ich die Stammfunktion von

v'

berechnen, weil ich nicht weiß wie das geht und den rest dann selber versuchen

HAL9000

19:54 Uhr, 22.02.2021

Langsam begreife ich:

Du meinst, wenn du

v' = \frac{1}{x^{3} + 2}

INTEGRIERST (manche verwenden dafür den scheußlichen Terminus "aufleiten", den lehne ich ab), dann kommt

v \overset{?}{=} \frac{1}{3 x^{2}} \ln (x^{3} + 2)

heraus ?

N E I N !!!

Das ist eine komplett vergurkte "Umkehrung" der Kettenregel, die du aber ganz ganz schnell aus deinem Gedächtnis streichen solltest - das klappt auf diese Weise allenfalls bei LINEAREN Substitutionen, die hier aber nicht vorliegt. :(

Wir bleiben bei der richtigen Kettenregel für Ableitungen, so wie sie ermanus genannt hat, und zwar für

f (x) = x^{3} + 2

: Das ergibt

(\ln (x^{3} + 2))' = \frac{1}{x^{3} + 2} \cdot (x^{3} + 2)' = \frac{1}{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}

Und um den Faktor 3 dort rechts wieder zu entfernen, muss man an die Stammfunktion vorn ein

\frac{1}{3}

drankleben, so kommt das Ergebnis

\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 2} d x = \frac{1}{3} \ln (x^{3} + 2) + C

zustande.

TheOne123 aktiv_icon

20:36 Uhr, 22.02.2021

Genau das habe ich damit gemeint! Schade dass das nicht geht, kam mir auch schon zu einfach vor.

Also noch mal langsam, ich verstehe es nicht ganz.

ich will ja

\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 2} d x

integrieren. (aufleiten darf man ja nicht sagen)

Warum muss ich auf einmal iwelche sachen mit der Kettenregel ableiten?

wird hier also weder die partielle Integration, noch die Substitution benutzt sondern "nur" die Kettenregel?

Bei dieser Gleichung hier:

(ln (x^{3} + 2))' = \frac{1}{x^{3} + 2} \cdot (x^{3} + 2)' = \frac{1}{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}

Du hast in dieser Gleichung, wie du schon sagtest, die Kettenregel auf den Nenner

x^{3} + 2

angewendet. Aber warum? Das verstehe ich nicht. Wie kommst du auf die Idee? Das ist glaub ich der springende Punkt, den ich nicht verstehe.

WENN man diese Gleicheung dann aufgestellt hat, sieht man, die integrierte Funktion. Den Teil habe ich verstanden und auch, warum man

\frac{1}{3}

noch dazu multiplizieren muss.

HAL9000

21:08 Uhr, 22.02.2021

> wird hier also weder die partielle Integration, noch die Substitution benutzt

Stop, nicht so schnell mit den Verneinungen... man kann es sehr wohl als Substitution begreifen, und zwar die Substitution

u = x^{3} + 2

: Mit der ist

d u = 3 x^{2} d x

und somit

\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 2} d x = \int \frac{x^{2}}{u} \cdot \frac{1}{3 x^{2}} d u = \int \frac{1}{3 u} d u = \frac{1}{3} \ln ∣ u ∣ + C = \frac{1}{3} \ln (x^{3} + 2) + C

> Du hast in dieser Gleichung, wie du schon sagtest, die Kettenregel auf den Nenner

x^{3} + 2

angewendet. Aber warum?

Hallo? Jemand Zuhause? Die Anwendung der Kettenregel hier ist doch keine "Idee", sondern ZWINGEND ERFORDERLICH, wenn man die Funktion RICHTIG ableiten will. Die Kettenregel lautet

(f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x)

,

und sie wird hier angewandt auf

f (t) = \ln (t)

sowie

g (x) = x^{3} + 2

, da ist doch keine Zauberei dabei! Deine gezeigte Verwunderung, als wäre das eine exotische Idee, wirkt nun wieder auf mich einigermaßen befremdlich um nicht zu sagen erschreckend...

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