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Integralaufgabe
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 20:44 Uhr, 28.09.2004  |
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Hallo, bin total gefrustet weil mein Lehrer eine Aufgabe "Für die Schlauen" gestellt hat und ich ihm, ohne ein Wunder, wohl morgen zeigen muss, dass ich nicht dazu gehöre, es sei denn einer kann diese Aufgabe: "Für k>0 ist die Funktion f(X)=- 1/3 x hoch3 +kx. Bestimme k so, dass die Normale im Wendepunkt des Graphen von f mit dem Graphen von f eine Fläche vom Inhalt 6 einschließt." Die Aufgabe stammt aus "Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2" Grundkurs Schroedel! Es wäre einfach nur geil, wenn einer von euch mir helfen könnte. Wenn ich dann mal berühmt werde, würde ich euch in meinen Memuaren erwähnen! |
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anonymous 22:24 Uhr, 28.09.2004 |
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Hi, da lassen wir den Kopf nicht hängen, sondern rechnen wie folgt: deine Aufgabe: "Für k>0 ist die Funktion f(X)=- 1/3 x hoch3 +kx. Bestimme k so, dass die Normale im Wendepunkt des Graphen von f mit dem Graphen von f eine Fläche vom Inhalt 6 einschließt." meine Lösung: zunächst erkennst du, dass die Funktion dritten Grades ist und dass sie kein x² und kein Absolutglied enthält, daraus kannst du erkennen, dass die Funktion 1. punktsymmetrisch zum Ursprung ist (sie hat nur ungerade x-Potenzen) 2. ihren Wendepunkt bei x = 0 hat (die 2. Ableitung ist y'= (...)*x) = 0 dann hat sie im Ursprung (x=0)die Steigung m = y' = -1*x^2+k = k-x^2 = k dann ist die Steigung der Normalen m_n = -1/(k-x^2) = +1/x^2-k) weil die Normale durch den Wendepunkt geht, und dieser Wendepunkt im Ursprung des KS liegt, lautet die Gleichung der Normalen y_n = -1/k*x jetzt müssen die weiteren Schnittpunkte zwischen der Funktion f(x) und der Normalen bestimmt werden: also Gleichsetzen der Funktionsterme: -1/3*x^3+k*x = (-1/k)*x also: -1/3*x^3 + k*x + (1/k)*x = 0 die Nullstellen dieser Gleichung lauten: x_1 = 0 (hatten wir schon) nach Polynomdivision und Umstellen ergibt sich: 1/3*x^2 = k + 1/k darin sind die Nullstellen x_2 = -sqrt[3*(k²+1)/k] x_3 = +sqrt[3*(k²+1)/k] da die Funktion punktsymmetrisch ist, kann die Integration im Intervall von 0 bis x_3 erfolgen, wobei die Fläche dann nur 3 FE groß ist: Funktionsdifferenz y = -1/3*x^3+k*x -(-1/k)*x y = -1/3*x^3+k*x -(-1/k)*x y = -1/3*x^3+k*x +(1/k)*x y = -1/3*x^3+[k+1/k]*x nach Integration ist: A = [-1/12*x^4 + [k+1/2k]*x^2] {in den Grenzen von 0 bis +sqrt[3*(k²+1)/k]} = 3 darin muss jetzt für jedes x der Term +sqrt[3*(k²+1)/k] gesetzt werden, anschließend wird nach k = ... aufgelöst. Es ergibt sich k = 1, dann ist x_3 = sqrt(6) dann ist die Fläche: eingesetzt in A = [-1/12*x^4 + [k+1/2k]*x^2] A = [-1/12*36 + 6]= -3 + 6 = 3 FE ------------------- Nachtrag: Aufgabe ist selbst im LK hohes Niveau ! |
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