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Integralberechnung
Schüler
Tags: Rotation um die Y-Achse
 
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Hallo ihr werten helfer, Ich hätte eine frage bez.der rotation um die y-achse! Ich hoffe, ihr könnt mir helfen:-) : Ein 7cm hohes trinkglas hat innen die form eines drehparaboloids und außen die eines halben einschaligen Drehhyperboloids es wird bis 2cm unter den Rand mit einem alkoholischen getränk gefüllt. Berechne das Volumen und die Masse des Rrinkglases sowie die Gesamtmasse des gefüllten Glases! Nun werden zwei Eiswürfel mit der Seitenlänge 5cm in das Getränk gegeben Wie hoch steht das Glas jetzt? Lösung: 12pi (7-2wurzel aus Bitte helft mir! Ich denke , dass die gleichung des Drehhyperboloids ist! Und dass man um die y-achse rotieren muss! Bei den Grenzen bin ich mir nicht so sicher und ich stecke bei der integration einer Substitution fest Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die Grenzen fehlen ! |
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Naja , das glas rotiert ja um die y-achse deshalb ist die grenze für blau 1 bis 7 und für rot 1 bis oder ? Das glas ist ja 7cm groß?? |
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Sorry, hatte 7 cm Höhe übersehen. |
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Das Volumen des Glasinneren lässt sich . leichter bestimmen, wenn man Rotation um die x-Achse voraussetzt. Dann gilt . Umkehrfunktion ist und . Das müsste auch für die Hyperbel klappen, aber deren Umkehrfunktion ist etwas schwieriger, weil keine Spiegelung an der Diagonalen vorliegt. |
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Umkehrfunktion für die Hyperbel war doch einfacher, hatte nur einen Übertragungsfehler gemacht. Die Situation für Rotation um die x-Achse habe ich gezeichnet. Die Umkehrfunktion der Hyperbel ist . Sie ergibt als Rotationsvolumen . Damit hat das reine Glas ca. und wiegt ca. . Die Alkoholmenge ist dann . Sie wiegt also . |
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Danke vielmals!!!!! Ich werde es dann ausprobieren!! Ich hoffe es passt :-) :-) :-) |
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Sorry, hatte das Bild vergessen. Eis hat eine Dichte von . Der Wasserspiegel und die Masse ändern sich beim Schmelzen nicht. Du kannst also mit dem entsprechenden Wasservolumen rechnen. Die Frage dürfte eher heißen, wie hoch die Flüssigkeit im Glas steht, also Alkoholvolumen . Das kannst du auflösen zu und damit cm. Alles klar ? |
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Wenn dein Lehrer diese Aufgabe mit Rotation um die y-Achse gestellt hat, war das nicht ganz fair. Oder hast du auf y-Achse gesetzt ? |
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ich habe es selbst auf y-achse gesetzt weil mir das logischer vorkam ! Ja ich habe iwie auch das gefühl, dass das eine eher etwas schwierigere aufgabe ist ! |
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Mit den vorgegebenen Funktionsgleichungen war das auch naheliegend, aber die Integration ist ungleich schwerer. Das liegt daran, dass bei der Berechnung des Rotationsvolumens per Integral immer die Fläche zwischen Kurve und x-Achse um die jeweilige Koordinatenachse rotiert bzw. dieses Volumen ausgerechnet wird. Bei Rotation um die y-Achse bekommst du also nicht direkt das Füllvolumen des Glases bzw.später das des Alkohols und auch die Berechnung des Flüssigkeitsspiegels gestaltet sich komplizierter. Du musst immer im Kopf haben, wie sich das Volumen zusammensetzt. Bei denkt man sich den Rotationskörper aus Zylinderscheiben zusammengesetzt (wie einen Münzstapel). Die Rechnung verläuft analog zu meiner. Gleiches gilt auch für die Hyperbel. Irritiert hatte mich, dass du eine Substitution gesucht hast, das ist nicht erforderlich. Insofern muss ich fairerweise sagen, dass die Aufgabe sehr wohl mit y-Rotation lösbar ist ( die Formeln entsprechen meiner Rechnung, nur Tausch und Aber generell gilt, dass längst nicht immer klappt, weil nicht alle Funktionsgleichungen umkehrbar sind |
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