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Integrale durch Substitution überführen

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Integration

Tags: Integration

 
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palzwei

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15:06 Uhr, 23.05.2018

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Guten Tag,

die Aufgabe: Für 0<ε<1 sei I (ε)=01-εln(11-t)dt.
durch die Substitution x:=11-t überführe man I (ε) in ein Integral 1bf(x):=J(b). Wie hängen b und ε zusammen?

Ok mein Ansatz ist die Substitutionsregel also abf(g(x))g'(x)dx=g(a)g(b)f(y)dy.

Nun hab ich versucht darüber zu arbeiten, also:
x=g(t):=11-t, damit gilt g'(t)=1(1-t)2

Jetzt müssen noch die Grenzen substituiert werden:
g(0)=1 und g(1-ε)=1ε=b, das sieht noch so aus als könnte es passen

aber ab hier komm ich nicht weiter, da ich nicht sehe an welcher Stelle von dem I (ε) das g'(t) stehen soll. Freue mich über Ideen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

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15:44 Uhr, 23.05.2018

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Hallo
du hast doch schon die richtige formel nur dass du ungünstige Variablen wählst
ab f(g(t))⋅g'(t)dt =abh(x)dx mit h(x)=f(x)x'
in g'(t) hast du ein Minus vergessen, also g'(t)=-1(1-t)2=-1x2;f(g(t)=ln(x)
die Substitutionsregeln sind etwas leichter zu merken, wenn man mit x=g(t) schreibt dx=g'(t)dt oder im Integral dt=dxg'(t) und das tg' durch das x ersetzt .
Gruß ledum

palzwei

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16:42 Uhr, 23.05.2018

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Hallo ledum,
die Anmerkung zu der Schreibweise war schon mal sehr hilfreich, mach die ganz Geschichte viel übersichtlicher.

ok mit deinen Anmerkungen hätte ich jetzt:

01-εln(11-t)dt=01-εln(x)-x2dx =(nun die Substitutionsregeln) 11εln(x)

???

Liebe Grüße
Antwort
rundblick

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17:06 Uhr, 23.05.2018

Antworten
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Mann - wer hat dir die blödsinnige Idee mit der Substitution x=11-t verkauft ?

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palzwei

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17:11 Uhr, 23.05.2018

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Das ist die Aufgabenstellung vom Prof :-D), wie wärst du ohne diese Vorgabe an die Aufgabe herangegangen?
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rundblick

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17:18 Uhr, 23.05.2018

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01-εln(11-t)dt=?


" .. ohne diese Vorgabe an die Aufgabe herangegangen?"

so

es ist ln(11-t)=ln1-ln(1-t)

also 01-εln(11-t)dt=(-1)01-εln(1-t)dt

Vorschlag: substituiere nun z=(1-t)

usw..

palzwei

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17:31 Uhr, 23.05.2018

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Stimmt sieht schöner aus, es kann natürlich sein das wird die ln Rechenregeln noch nocht nicht als Vorrausetzung haben, vielleicht deswegen.
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rundblick

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17:41 Uhr, 23.05.2018

Antworten
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".. das wird die ln Rechenregeln noch nocht nicht als Vorrausetzung haben,.."

meinst du dies
" .. dass wir die ln Rechenregeln noch nicht als Vor!auss!etzung haben,.."
aber:
das darf ja wohl nicht wahr sein ? in welche Klasse geht ihr denn ?

.
palzwei

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18:38 Uhr, 23.05.2018

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:-D)D Damit meinte ich, dass wir sie vielleich noch nicht bewiesen haben und deshalb nicht verwenden dürfen, aber das weiß ich nicht genau, ist ja auch egal. War den mein lezter inhaltlicher Post (der mit der Lösung) korrekt?
Antwort
rundblick

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19:15 Uhr, 23.05.2018

Antworten

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"auch egal.
War den mein lezter inhaltlicher Post (der mit der Lösung) korrekt?" .. NEIN ..

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palzwei

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10:43 Uhr, 24.05.2018

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Hallo nochmal,
irgendwas übersehe ich, weshalb ich mit der Substitution einfach nicht auf einen grünen Zweig komme.
Ich habe jetzt ja:
X=g(t)=11-t damit folgt dxdt=g'(t)=-1(1-t)2=-1x2dt=-x2dx
Also:
01-εln(11-t)dt= (obiges einsetzen) 01-εln(x)-x2dx, aber dieser Schritt stimmt ja schon nicht, wenn ich ein beliebiges ε einsetzte kommen für diese beiden Integrale unterschiedliche Werte raus.
Gruß palzwei
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rundblick

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15:14 Uhr, 24.05.2018

Antworten
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" weshalb ich ..einfach nicht auf einen grünen Zweig komme. "
na ja - kein Wunder - bei den Böcken, die du schiesst, bleibt die Frage:
wo hast du mathematisch klettern gelernt?

"aber dieser Schritt stimmt ja schon nicht, "
ja - aber schon vorher hast du einen Fehltritt geleistet

also:
wenn x=11-t.. dann hast du jetzt noch richtig dxdt=(-1)1(1-t)2

und da 1(1-t)2=[11-t]2=x2

dxdt=(-1)x2

.. mach nun selbst richtig weiter ..


....und nun zum nächsten Fehler
hat dir wirklich noch niemand gesagt, dass du bei einem bestimmten Integral
bei der Substitution auch die Grenzen des Integrals auf die neue Variable
umrechnen musst ?
Beispiel :
wenn bezüglich t die untere Grenze bei t=0 war, dann wird diese untere Grenze
bezüglich x=11-t nun richtig bei x=1 sein .. usw ...

also: gib dir nochmal etwas Mühe
und ich warte geduldig auf deine neue Stammfunktion bezüglich x
sowie auf den Wert des bestimmten Integrals ..

obwohl die vorherige Anwendung der ln-Rechenregeln immer noch
wesentlich sinnvoller ist, da die Integration auch dann gut machbar ist.

nun denn ..



palzwei

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16:13 Uhr, 24.05.2018

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Ok, das waren tatsächlich einige Böcke... und danke für die Geduld.. auf ein neues..

dann haben wir jetzt noch dt=-1x2dx, jetzt noch die Grenzen substituieren, also

11-0=1 (untere Grenze) und 11-(1-ε)=1ε (obere Grenze)

Jetzt einsetzten,

01-εln(11-t)dt=11ε-ln(x)1x2dx, auf der rechten Seite komm jetzt ein negativer Wert raus, aber das ist bei der Flächenberechung ja unwichtig.

Die Stammfunktion kriegt man nun relativ einfach im Kopf, über die Ableitungsregel für Quotienten hin oder wenn man bei Integrationsmethoden bleiben will über die partielle. Das ergibt dann F(x)=[1+ln(x)x]11ε.




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rundblick

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16:41 Uhr, 24.05.2018

Antworten
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super .. jetzt hast du (fast) alles richtig

nur dieser Text ist fehl am Platz
" auf der rechten Seite komm jetzt ein negativer Wert raus,"

denn:
(-1)ln(x)x2dx=+ln(x)+1x+c

was nun noch fehlt ist die Auswertung deines bestimmten Integrals :
f(ε)=F(1ε)-F(1)=?


Zusatzfrage:
was passiert eigentlich mit diesem f(ε) wenn ε0?
palzwei

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17:12 Uhr, 24.05.2018

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Die Auswertung wäre dann:
F(1ε)-F(1)=(1-ln(ε))ε-1.
Wenn nun ε0 geht, dann würde 1ε gehen, das würde doch für f(ε) bedeuten:

limn[1+ln(x)x]1n=limn1+ln(n)n-1=-1


Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

17:34 Uhr, 24.05.2018

Antworten
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.. gut so - geht ja nun doch plötzlich bestens auf grüne Zweige..
.. (das wird sicher auch Isolde freuen?..)
.

Frage beantwortet
palzwei

palzwei aktiv_icon

17:38 Uhr, 24.05.2018

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Ja das war eine Verwirrung die sich bei mir eingeschlichen hat, die mich absolut unfähig hat werden lassen. Danke für die Auflösung der Verwirrung, plus weiterführender Gedanken.

Gruß palzwei
Frage beantwortet
palzwei

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17:53 Uhr, 24.05.2018

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( Achja, leider ist keine Isolde vorhanden, mein Namensvetter stammt aus der britischen Serie " Der Doktor und das liebe Vieh", also mehr bäuerlich als königlich !!)