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Integralgleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Lösungsansatz

TomHAE aktiv_icon

20:19 Uhr, 10.10.2021

Wie löst man folgende Integralgleichung

Abkürzung

H 1 (r) = r^{k - 1} \cdot e^{- γ \cdot E (r)}

\int_{a}^{b} H 1 (r)

= U \cdot \frac{H 1 (r)}{E (r)}

gesucht ist

E (r)

wobei

U, k, γ \in ℝ

U > 0

k > 1

g > 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

21:20 Uhr, 10.10.2021

\int_{a}^{b} H 1 (r)

= U \cdot \frac{H 1 (r)}{E (r)}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

↑

wenn links wirklich ein bestimmtes Integral steht,
dann ist das Ergebnis eine von a und

b

abhänhige Konstante ..
also rechts kommt dann

k e i n \to r

mehr vor.. :-)
hm?

TomHAE aktiv_icon

10:03 Uhr, 11.10.2021

Das Problem ist, dass hier

H 1 (r)

unter dem Integral und ausserhalb des Integrals steht. Das scheint eine Fredholm Integralgleichung zweiten Grades zu sein. Ich habe aber keine verständliche Anleitung gefunden wie man dies löst.

Ich habe eine iterative Lösung gefunden,

d . h

. man berechnet zuerst das Integral unter der Annahme dass

E (r)

unabhängig von

r

ist.

die Glg von oben nach

E (r)

umgeschrieben:

E (r) = U \cdot \frac{r^{k - 1} \cdot e^{- γ \cdot E (r)}}{\int_{a}^{b} r^{k - 1} \cdot e^{- γ \cdot E (r)}}

Basis Glg. unter Annahme von

E (r)

unabhängig von

r

E 0 (r) = U \cdot \frac{k}{b \cdot (1 - {(\frac{a}{b})}^{k})} \cdot {(\frac{r}{b})}^{k - 1}

mit diesem

E 0

berechnet man dann dass ein

E 1,

und mit

E 1

ein

E 2

usw. bis die Differenz von zwei aufeinanderfolgen Berechnungen kleiner ist als die gewünschte Genauigkeit. Das funktioniert ganz gut ich hätte aber gerne gewusst wie man Fredholm Integralgleichung zweiten Grades löst

ledum aktiv_icon

15:39 Uhr, 11.10.2021

Warum gehst du auf Rundblick nicht ein? Der sagt doch mit Recht, H1(r)/E(r)=const
Gruß ledum

TomHAE aktiv_icon

13:46 Uhr, 12.10.2021

Richtig

\frac{H 1 (r)}{E (r)}

ist konstant
aber das hilft mir nicht viel weiter.
Diese Konstante ist unbekannt und hängt von der gesuchten Grösse

E (r)

ab
Zur besseren (?) Veranschaulichung habe ich die Gleichung ohne die Abkürzung aufgestellt, gesucht ist

E (r)

. Zur Info diese Gleichung beschreibt die Verteilung des elektrischen Feldes bei DC in einem koaxialen Kabel bei dem wegen des Temperaturgefälles zwischen des Leiters und der Kabeloberfläche die Leitfähigkeit vom Radius abhängt. Desweiteren ist die Leitfähigkeit auch vom elektrischen Feld abhängig

\int_{a}^{b} r^{k - 1} \cdot e^{- γ \cdot E (r)}

= U \cdot \frac{r^{k - 1} \cdot e^{- γ \cdot E (r)}}{E (r)}

a ist der radius des Innenleiters

b

ist der radius des Aussenleiters

k

und

γ

sind Materialkonstanten die die Temperaturabhängigkeit und Feldstärkeabhängigkeit der Leitfähigkeit beschreiben

mfg
Tom

ledum aktiv_icon

16:54 Uhr, 12.10.2021

wieso hängt dein bestimmtes Integral noch von

r

ab?

E (a)

und

E (b)

sollten doch bekannt sein?
ledum

TomHAE aktiv_icon

18:05 Uhr, 12.10.2021

Nein, die Feldstärke am InnenLeiter

E (a)

und die Feldstärke am Aussenleiter

E (b)

sind unbekannt. Was bekannt ist ist die Spannung

U

zwischen beiden Leitern. Die Spannung

U

ergibt sich aus dem Integral:

U = \int_{a}^{b} E (r)

dr

Für diese Integralgleichung gibt es keine analytische Lösung. Solch eine Gleichung ist, wenn ich richtig im Internet gesehen habe, eine Fredholm Integralgleichung zweiten Grades die nur numerisch gelöst werden kann. Allerdings habe ich keine mir verständliche Anleitung gefunden wie das geht.

Wenn Du weitere Informationene zu dem physikalischen Ansatz möchtest, dann siehe im Anhang

E

von der Doktorarbeit "Charges and Discharges in HVDC cables, in particular in mass-impregnated HVDC cables, von Marc Jeroense, Delft

1997 :

repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:f0cb823a-5593-47c7-b69e-11d3206e7616/datastream/OBJ/download

Tom

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