Integralkriterium bei Reihen

Hallo an alle :)

ich habe momentan Schwierigkeiten mit diesen beiden Aufgaben:

a) Zeigen Sie, dass ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ existiert (Betrachten Sie ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\left(\frac{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ )

b) Zeigen Sie, dass ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{{(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$ konvergiert.

zu a) Muss ich hier lediglich zeigen, dass die Reihe konvergiert?

denn der Satz lautet, dass wenn die Reihe konvergiert auch das Integral existiert

zu b) Hier hab ich folgenden Ansatz:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ü<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\int }_2^{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{{}_{(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}; \\ {\int }_2^{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{{}_{\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{1}{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\frac{1}{{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\int }_{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}^{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{}_{\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

allerdings ist das nur ein sehr wager Versuch -.- und ich bin mir sicher dass das nicht stimmen kann denn dann wäre es wenn c gegen unendlich geht divergiert ja mein Ansatz

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen und wär auch sehr dankbar darüber!