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Integrallrechnung GTR

Schüler

Tags: Funktion, Integral

 
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skylove

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05:40 Uhr, 13.08.2018

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Hallo, kann mir bitte jemand erklären, wieso ich mit dem GTR nicht das richtige Ergebnis rauskirege. Ich wollte die eine Seite berechnen und dann mal 2 rechnen.... Liegt, das daran, das es Schnittpunkte gibt? Aber wie gebe ich das dann ein?

aufgabe4
gtr

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Respon

Respon

07:17 Uhr, 13.08.2018

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03(...)dx+34(...)dx
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Roman-22

Roman-22

11:20 Uhr, 13.08.2018

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Wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven berechnen möchtest, darfst du nicht über den Schnittpunkt der beiden Kurven hinwegintegrieren, sondern musst dort das Integral aufteilen und das Vorzeichen ändern. Bessere Alternative zur Vorzeichenänderung ist es, über jedes einzelne Integral den Betrag zu stülpen, dann musst du dir auch nicht überlegen, wo welche Kurve größer ist.
Wegen der Symmetrie zur y-Achse würde hier auch

A=4(|03g(x)dx|+|34g(x)dx|)

reichen.

Die Frage nach dem "Materialbedarf" ist dumm und praxisfern, denn dabei müsste man Verschnitt berücksichtigen und dürfte das Loch in der Mitte nicht weg rechnen. Der Lehrer, der diese "Praxis"aufgabe ersonnen hat wäre besser beraten gewesen, einfach banal nach der Fläche zu fragen. Oder aber er hätte zB die Materialdicke angeben und nach der Masse des Logos fragen können.

EDIT: Da du es in einer zweiten Frage ebenso falsch geschrieben hast - das "Integral" und auch die "Integralrechnung" sind mit einem einzelnen "l" vollkommen zufrieden ;-)
skylove

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19:54 Uhr, 13.08.2018

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Haha danke sehr :-) Aber ich verstehe nicht wieso du jetzt g(x)+g(x) gerechnet hast? Eigentlich habe ich das immer so gemacht, dass ich die obere minus der unteren Funktion rechne? Und wieso hast du die gesamte Rechnung mal 4 gerechnet? bitte um eine Erklärung :
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Roman-22

Roman-22

20:51 Uhr, 13.08.2018

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> Eigentlich habe ich das immer so gemacht, dass ich die obere minus der unteren Funktion rechne?
Ja, das ist ja auch richtig und wenn du wie vorgeschlagen den Betrag nimmst, musst du dir auch keine Gedanken mehr machen, welche Funktion in welchem Intervall oben und welche unten ist. Aufteilen an der Stelle, wo sich die beiden Graphen schneiden, musst du aber in jedem Fall, denn das sind idR die Stellen wo "obere" und "untere" Funktion ihre Rolle wechseln.

Bei deinem Beispiel gibt es aber noch eine Besonderheit, und zwar die , das f(x) und g(x) bis auf das Vorzeichen gleich sind. |g(x)-f(x)| ist daher dasselbe wie |2g(x)|. Deshalb reicht es, nur g(x) (gerne auch nur f(x)) zu integrieren und das Ergebnis zu verdoppeln.

Du kannst es gerne auch so sehen, dass 03g(x)dx die rote Fläche in untenstehender Zeichnung berechnet (der Betrag wäre hier nicht nötig gewesen) und |34g(x)dx| die grüne Fläche (hier ist der Betrag essentiell, da der Wert des Integrals negativ ist).
Du hättest auch anstelle von ...+|34g(x)dx| den Ausdruck +...34(-g(x))dx oder ...+34f(x)dx verwenden können, schließlich ist hier ja f(x)=-g(x).
Warum das alles noch mit 4 multipliziert werden muss, wird dir sicher bei betrachtung der Zeichnung klar werden, oder?
B2

skylove

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21:10 Uhr, 13.08.2018

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Hätte ich es so gemacht, dass ich die eine Funktion von der anderen abziehe, hätte ich die ganze eine seite berechnet und hätte nur mal zwei rechnen müssen oder? und wenn ich es so mache kriegt man doch immer den Inhalt der fläche unter der Funktion? ich verstehe dann die rote fläche aber die grüne fläche verstehe ich nicht, weil es doch nicht der Inhalt der fläche unter der Funktion ist :?
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Roman-22

Roman-22

21:45 Uhr, 13.08.2018

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> Hätte ich es so gemacht, dass ich die eine Funktion von der anderen abziehe, hätte ich die ganze eine seite berechnet und hätte nur mal zwei rechnen müssen oder?

Ja richtig! Du hättest A=2[03(g(x)-f(x))dx+34(f(x)-g(x))dx] rechnen können. Ich habe hier auf die Betragsstriche verzichtet und deshalb musste ich aufpassen, welcher Funktionsgraph in welchem Bereich der obere ist.

> und wenn ich es so mache kriegt man doch immer den Inhalt der fläche unter der Funktion? ich verstehe dann die rote fläche aber die grüne fläche verstehe ich nicht, weil es doch nicht der Inhalt der fläche unter der Funktion ist :?

Vielleicht ist die Formulierung "unter" der Funktion irreführend.

abf(x) liefert dir den orientierten (d.h. mit Vorzeichen) Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse.
Wenn du von x=a nach x=b auf der x-Achse wanderst und dann entlang des Funktionsgraphen wieder zurück nach a, dann kann das ein Rundweg im Uhrzeigersinn oder aber auch entgegen des Uhrzeigersinns sein. Ist es ein Weg im Gegenuhrzeigersinn (das ist der mathematisch positive Drehsinn), dann erhältst du beim Integrieren einen positiven Wert, sonst einen negativen.
Da man üblicherweise vom kleineren zum größeren x-Wert integriert, hat sich die etwas schlampige Sprechweise eingebürgert, derzufolge die Fläche unter der x-Achse negativ rauskommt, Flächen über der x-Achse positiv.

Durch abf(x)-g(x)dx erhältst du den orientierten Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven. Der "Rundweg führt hier von x=a über die zweite Kurve g(x) bis x=b und dann entlang f(x) wieder zurück. Dann gilt die gleiche Vorzeichenregel wie oben.

Du kannst abf(x)dx auch als ab(f(x)-0)dx sehen und erkennst dadurch, dass es ich auch hier um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen handelt, nämlich zwischen dem von f(x) und dem von y=0 und das ist die x-Achse.

Es geht also bei abf(x)dx nicht um die Fläche "unter" dem Funktionsgraphen, sondern um die Fläche "zwischen" Funktionsgraph und x-Achse.

Zum Abschluss ein kleiner Trick, der dir mit deinem GTR vielleicht die Notwendigkeit des Aufteilens des Integrals erspart. Versuche mal
204|(-29X2+2)-(29X2-2)|dx
auszuwerten. Beachte dabei, dass nun der Betrag um den Integranden und nicht um das Integral rum gesetzt ist!
Aufgrund der Art und Weise, wie dein TR das Integral numerisch auswertet, sollte er mit dem Ausdruck klar kommen und das richtige Ergebnis ausspucken.


Frage beantwortet
skylove

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21:59 Uhr, 13.08.2018

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YIPIIII :-)) Verstanden!! So macht Mathe Spaß :-))))) Echt gut erklärt!