Integralrechnung

Hallo

ich würde gern ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit den Ober- und Untersummen angeben.

Als Term habe ich schon einmal: ${\displaystyle \frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left[\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(1*\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2*\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})+\mathrm{...}+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}((\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})]}$

Das ist ja meine Untersumme. Jetzt würde ich noch mal ${\displaystyle \frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ausklammern.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}[1+2+\mathrm{3..}+(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)]}$ Hier eine Zwischenfrage: Kann ich diesen Term als ${\displaystyle \sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^3}$ schreiben?

Die Summenformel für Kubikzahlen lautet:${\displaystyle {\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{2}\right)}^2}$. Hier fängt es bei mir nun an zu stocken.

Ich würde jetzt ${\displaystyle {\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{2}\right)}^2}$ zu ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+{2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}}^{}}$ ausmultiplizieren und mit ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$ multiplizieren. Aber hier kommt kein sinnvolles Ergebnis mit ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ raus.

Was ist mein Gedankenfehler?

Danke für Hilfe schon mal.

Also habe ich ${\displaystyle \frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle [1^3\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}+2^3\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}+\mathrm{...}+{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^3*\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}]}$ Jetzt klammere ich noch zusätzlich ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}}$ aus.

Damit habe ich folgenen Term: ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*[1^3+2^3+\mathrm{..}+{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^3]}$. Ich erkenne zwar sofort, dass eine Summe Kubikzahlen vorliegt aber ich bin mir unsicher wie ich das schreiben muss. ${\displaystyle \sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^3}$

so würde ich das mit dem Summenzeichen schreiben. Als Bruch gibt es ja ${\displaystyle {\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{2}\right)}^2}$.

Ich würde jetzt ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*{\left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{2}\right)}^2}$ rechnen. Dann mithilfe ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ die Annäherung bestimmen.

Was meint ihr dazu?

Danke schon mal.

Also ${\displaystyle \sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$. Danke dir Astor.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*[\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}]}$ schreibe ich als ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*[\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}]}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}}$ -> ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}}$

So richtig?

Für die Obersumme gilt doch:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}[1+2+\mathrm{..}+\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]=\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

Nun rechne ich: ${\displaystyle \frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*\left[\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}^2}{4}\right]=\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}*[\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}+\frac{2{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{4}+\frac{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{4}]=\underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}+\frac{2{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}->\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}}$

Richtig so?