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Integralrechnung

Schüler

Tags: Flächen

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18:26 Uhr, 17.08.2014

Hi

Ein leeres Becken hat einen Zufluss und einen Abfluss. Zunächst wird der Zufluss

15 min

geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit beträgt

300 \frac{l}{min}

.
Dann wird

20 min

lang der Zufluss geschlossen und der Abfluss geöffnet. Die Abflussgeschwindigkeit beträgt

100 \frac{l}{min}

a)

Zeichne den Graphen der Funktion Zeitdauer->Zuflussgeschwindigkeit

b)

Wie viel

l

befinden sich nach

5,10,15,20,25,30,35 min

im Becken?

c) f

sei die Funktion Zeitdauer (in

min) \to

Zuflussgeschwindigkeit (in

\frac{l}{min})

. Berechne $

\int e g r a l_{0}^{35} {f (x) d x}

. $ Welcher Zusammenhang besteht mit den Ergebnissen von Teilaufgabe

b)

?

die aufgaben a und

b

habe ich erfolgreich gelöst :-) aber bei

c

komme ich nicht so voran.
ich hatte das die Funktionen wie folgt lauten:

f (x) = 300 x

und

f (x) = - 100 x

Dann habe ich die beiden Funktionen sozusagen zusammen gesetzt:

f (x) = 300 x - 100 x

.
Kann ich mit dieser Funktion das Integral von

0 - 35

berechnen oder muss ich das irgendwie anders machen - also getränt berechnen?

Stephan4

19:47 Uhr, 17.08.2014

Hi

"getränt berechnen" - also mit Tränen in den Augen?

oder besser "getrennt berechnen", also eines nach dem anderen.

Beantworte erst mal folgende Fragen:

1)

Was ist das x? Welche Dimension hat es? km, Euro oder Stunden?

2)

Was ist das

f (x)

oder y? Welche Dimension hat es?

3)

Wie sieht Lösung a und

b

aus?

Das ist wichtig, um den Lösungsweg zu verstehen.

\int_{0}^{15} 300 \cdot d x - \int_{15}^{35} 100 \cdot d x =

= {[300 \cdot x]}_{0}^{15} - {[100 \cdot x]}_{15}^{35} =

= 300 \cdot 15 - 100 \cdot 20 = 4500 - 2000 = 2500

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21:19 Uhr, 17.08.2014

Danke habe verstanden :-)

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16:37 Uhr, 18.08.2014

Hey ich habs doch noch nicht richtig verstanden.
Warum heisst die Funktionsgleichung

f (x) = 300

und nicht

f (x) = 300 x

Bummerang

16:52 Uhr, 18.08.2014

Hallo,

"Warum heisst die Funktionsgleichung

f (x) = 300

und nicht f(x)=300x?"

Wenn Du das nicht weisst, dann hast Du die ersten zwei Fragen von Stephan4 entweder nicht oder falsch beantwortet! Was sind denn Deine Antworten darauf?

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17:00 Uhr, 18.08.2014

Hey

nun zu den beiden Fragen:

1)

das

X

stellt die Zeit in Minuten dar

2)

das

f (x)

stellt das Wasservolumen in

\frac{l}{min}

dar

Ist das richtig?

Aber ich komme trotzdem nicht irgendwie auf die Antwort meiner Frage

: S

Bummerang

17:15 Uhr, 18.08.2014

Hallo,

zu

1)

Eine Zeit wird nicht direkt dargestellt, denn sonst müsste man den Zeitpunkt für die Null noch definieren! Es wird eine Zeitdauer dargestellt und diese der Einfachheit halbe, da alle Zeitangaben der Aufgabenstellung in Minuten sind in der Einheit "min".

zu

2)

Wenn man bei der ersten Antwort noch mit einigem Augenzudrücken von einer richtigen Antwort sprechen könnte, ist die zweite Antwort definitiv falsch. Bei einer Abbildung der Zeitdauer auf die Zufliussgeschwindigkeit in

\frac{l}{min},

wie es die Aufgabenstellung verlangt

(!),

kann

f (x)

kein WasserVOLUMEN darstellen! Ein Volumen wird in Liter, Milliliter, Kubikmeter, Kubikzentimeter,

. .

. angegeben! Eine Angabe in

\frac{l}{min}

ist für ein Volumnen nicht möglich! Es ist die Zufliussgeschwindigkeit darzustellen und diese ist für die Zeitdauer von

0 min

. bis

15 min

. konstant und immer gleich

300 \frac{l}{min}

und für die Zeitdauer von

15 min

. bis

35 min

. ist sie ebenfalls konstant und immer gleich

- 100 \frac{l}{min}!

Was aber kommt bei Dir raus? Der Wert steigt von

0 l (300 \frac{l}{min} \cdot x min

beginnend bei

x = 0)

auf

4500 l (300 \frac{l}{min} \cdot x min

endend bei

x = 15)

und geht dann weiter von

- 1500 l (- 100 \frac{l}{min} \cdot x min

beginnend bei

x = 15)

bis zu

- 3500 l (- 100 \frac{l}{min} \cdot x min

endend bei

x = 35)

. Diese Funktion ist weder konstant in den beiden Abschnitten, noch ist sie in der geforderten Einheit

\frac{l}{min}

sondern in der Einheit

l

(Liter)!

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17:22 Uhr, 18.08.2014

Also heisst es, dass

f (x)

die Zuflussgeschwindigkeit darstellt?

Stephan4

17:42 Uhr, 18.08.2014

Nicht umsonst habe ich diese Fragen oben gestellt.

Zum besseren Verständnis:

Der Wasserhahn ist so weit geöffnet, dass genau die gewünschten Liter pro Minute raus gehen. Das ist eine waagrechte Linie im Koordinatensystem.

Nach einiger Zeit drehst Du den Hahn etwas zurück. Es geht weniger Wasser durch und die Linie macht einen Sprung nach unten und geht dann weiter nach rechts, aber etwas tiefer.
Und wenn Du den Wasserhahn abdrehst, geht die Linie ganz unten, auf der x-Achse weiter.

Und jetzt die Erklärung:
Der Wasserhahn ist gleich geöffnet, die Linie ist waagrecht. Der Durchfluss ist konstant. Je höher die Linie, desto mehr geht durch.
Die Fläche, die sich im Lauf der Zeit unter der Linie bildet, ein Rechteck, ist die bisher gefüllte Wassermenge.
Beim Zurückdrehen des Wasserhahns bildet die Linie eine Stufe. Nicht ganz eine senkrechte Stufe, eher eine kurze steile Linie nach unten, weil das Zurück Drehen dauert ein paar Sekunden. Dann geht es konstant weiter. Die Fläche unter der Linie wird noch immer größer, aber nicht so schnell.

Man kann auch das Anwachsen des Wasservolumens graphisch darstellen, das ist eine Linie, die im Ursprung beginnt und nach schräg oben geht. Erst steiler, dann flacher. Das ist das Integral der ersten Linie.

Wenn das Wasser abgedreht ist, ist auch diese Linie waagrecht, aber irgendwo oben.

Der x-Wert beider Linien ist die Zeit, aber der y-Wert ist bei der ersten Linie die Durchflussmenge und der zweiten Linie die angesammelten Liter in der Wanne.

Beim Wasser auslassen geht es weiter. Die erste Linie ist waagrecht, aber unterhalb der x-Achse im Minus-bereich, weil ja Wasser weg rinnt. Und die zweite Linie geht schräg hinunter. Die hat nie einen Sprung. Wenn sie die x-Achse erreiccht hat, ist die Wanne leer.

Aus - Maus.

Alles klar?

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17:56 Uhr, 18.08.2014

Jap, alles klar :-)
Danke dir :-)

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