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Integralrechnung, Parameter bestimmen

Schüler

Tags: Flächenstücke sollen gleich groß sein

anonymous

12:41 Uhr, 19.04.2014

Hallo,

ich habe zu der folgenden Aufgabe 'ne Frage:
Untersuchen Sie, wie

k e R

gewählt werden muss, damit die drei Flächenstücke, die der Graph zu

f

mit

f (x) = x^{2} - k

und

k > 0

über dem Intervall

{- 3; 3}

mit der x-Achse einschließt, gleich groß sind.

Ich habe erstmal die Nullstellen bestimmt, die sind bei

- \sqrt{k}

und

\sqrt{k}

Dann habe ich die Stammfunktion aufgeschrieben und für die einzelnen Flächen Integrale aufgeschrieben:

Einmal

{\frac{1}{3} k^{3} - k x}

mit unterer Grenze

- 3

und oberer Grenze

- \sqrt{k},

ein zweites mit unterer Grenze

- \sqrt{k}

und oberer Grenze

\sqrt{k},

und ein drittes mit unterer Grenze

\sqrt{k}

und oberer Grenze 3.

Die drei sollen gleich sein. Dann komme ich mit eingesetzten Grenzen auf

\frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{k})}^{3} - k \cdot (- \sqrt{k}) + 9 + 3 x = \frac{1}{3} \cdot {\sqrt{k}}^{3} - k \cdot \sqrt{k} - \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{k})}^{3} - k \cdot (- \sqrt{k}) = 9 - 3 k - \frac{1}{3} \cdot {\sqrt{k}}^{3} - k \cdot \sqrt{k}

Und jetzt weiß ich nicht weiter. Man muss die einzelnen Terme wohl irgendwie verknüpfen, aber ich weiß nicht wie. Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfe, wie die Terme zusammengefasst aussehen. Ich denke, wenn ich den weiteren Rechenweg sehe, kann ich ihn nachvollziehen, da ich grundsätzlich weiß (oder es zumindest glaube zu wissen…) wie's geht.
Danke ! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:42 Uhr, 19.04.2014

helft mir

: (

versteht ihr irgendeinen Teil der Frage nicht?

dela86 aktiv_icon

14:25 Uhr, 19.04.2014

Deine Stammfunktion sieht doch etwas falsch aus.

\frac{1}{3} k^{3} - k \cdot x

Wie kommst du darauf

anonymous

15:14 Uhr, 19.04.2014

sorry, hab mich da verschrieben. Gemeint ist natürlich nicht

\frac{1}{3} k^{3}

sondern

\frac{1}{3} x^{3},

aber mein Rechenweg ist auch mit

\frac{1}{3} x^{3}

gerechnet

pleindespoir aktiv_icon

00:59 Uhr, 20.04.2014

f (x) = x^{2} - k

Forderung:

∣ \int_{- 3}^{- \sqrt{k}} f (x) d x ∣ = ∣ \int_{- \sqrt{k}}^{\sqrt{k}} f (x) d x ∣ = ∣ \int_{\sqrt{k}}^{3} f (x) d x ∣

\int f (x) d x = ⅓ x^{3} - k x + C

jetzt nur noch einsetzen und nach k auflösen ...

Stephan4

02:21 Uhr, 20.04.2014

Erstens einmal solltest Du berücksichtigen, dass

{\sqrt{k}}^{3} = k \sqrt{k}

Zweitens überprüfe mal Deine Rechnung.

Ich habe es selst so gerechnet (und hoffe, keine Fehler gemacht zu haben):

\int f (x) d x = \int (x^{2} - k) d x = \frac{x^{3}}{3} - k x

NS=

\pm \sqrt{k}

Annahme

1 : \sqrt{k} < 3

Teilflächen:

A_{1} = - 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{k}} (x^{2} - k) d x = - 2 \cdot {[\frac{x^{3}}{3} - k x]}_{0}^{\sqrt{k}} = \frac{4}{3} \cdot k \sqrt{k}

A_{2} = A_{3} = \int_{\sqrt{k}}^{3} (x^{2} - k) d x = {[\frac{x^{3}}{3} - k x]}_{\sqrt{k}}^{3} = 9 - 3 k + \frac{2}{3} \cdot k \sqrt{k}

Jetzt gleichsetzen:

A_{1} = A_{2}

\frac{4}{3} \cdot k \sqrt{k} = 9 - 3 k + \frac{2}{3} \cdot k \sqrt{k}

\frac{2}{3} \cdot k \sqrt{k} = 9 - 3 k \leftarrow

quadrieren

\frac{4}{9} \cdot k^{3} = 81 - 54 k + 9 k^{2}

\frac{4}{9} \cdot k^{3} - 9 k^{2} + 54 k - 81 = 0

Kubische Gleichung habe ich durch probieren gelöst!

k = 2,25

f (x) = x^{2} - 2,25

A_{1} = A_{2} = A_{3} = 4,5

(Annahme

2 : 3 < \sqrt{k},

s

.nächster Beitrag)

Hat das geholfen?

Stephan4

02:22 Uhr, 20.04.2014

Weiter mit der Annahme

2 : 3 < \sqrt{k}

Teilflächen:

A_{1} = - \int_{3}^{\sqrt{k}} (x^{2} - k) d x = - {[\frac{x^{3}}{3} - k x]}_{3}^{\sqrt{k}} = \frac{2}{3} \cdot k \sqrt{k} + 9 - 3 k

A_{2} = - 2 \cdot \int_{0}^{3} (x^{2} - k) d x = - 2 \cdot {[\frac{x^{3}}{3} - k x]}_{0}^{3} = - 18 + 6 k

Jetzt gleichsetzen:

A_{1} = A_{2}

\frac{2}{3} \cdot k \sqrt{k} + 9 - 3 k = - 18 + 6 k

Habe ich durch probieren gelöst!

k = 176,093

f (x) = x^{2} - 176,093

A_{1} = A_{2} = A_{3} = 1038,56

Hat das geholfen?

anonymous

16:01 Uhr, 20.04.2014

Hallo, vielen Dank für die ausführlichen Antworten! ich stecke gerade mitten in einer anderen Aufgabe und versuche mich heute Abend weiter an dieser Aufgabe hier. Also: ich schreibe nachher, ob's bei mir jetzt klappt ;-)

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