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Integralrechnung-Rauminhalte

Schüler Gesamtschule,

Tags: Integralrechnung, Rauminhalt, Rotationskörper, Rotationsvolumen

Maria-Maus aktiv_icon

18:43 Uhr, 23.12.2015

Guten Tag,
Ich muss in Mathe einen Referat halten und wünsche ihr könnt mir helfen. Ich wäre glücklich, wenn ihr meine Fragen beantworten könntet oder mir Seiten schicken könntet , wo ich mehr und wichtige Infos über dieses Thema erfahre.

-Arbeite dich in das Thema "Integral und Rauminhalt-Rotationskörper" ein.

-Veranschauliche das Thema mit verschiedenen Beispielen und berechne deren Volumen.

-Rotiert der Graph einer Funktion

f

mit

f (x) = 3

über dem Intervall

[1; 6]

um die x-Achse, so entsteht ein rotationskörper.
Bestimme sein Volumen und bestätige es mit der entsprechenden Volumenformen.

" Ich danke jeden schon mal im vorraus"

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

-Wolfgang-

20:03 Uhr, 23.12.2015

Hallo Maria,

Rotationsvolumen (Rotation um die x-Achse)rechnet man mit der Formel

V = π \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

aus , hier also

V = π \cdot \int_{1}^{6} 3 d x

Wenn der Graph von

f : [1; 6] \to ℝ, f (x) = 3

(also eine zur x-Achse parallele Strecke)
um die x-Achse rotiert, ensteht ein Zylinder mit dem Radius

r = 3

und der Höhe

h = 5

.
Du erhältst

V

also auch mit der geometrischen Formel

V_{z} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

[

Kontollergebnis:

15

Volumeneinheiten

]

Wenn du jetzt nicht weiterkommst, helfe ich dir gern

VlG Wolfgang

Maria-Maus aktiv_icon

20:15 Uhr, 23.12.2015

Vielen vielen dank,
Könntest du's vielleicht ausführlicher erklären.
Ich weiß fast nichts über dieses Thema und hab Angst, was würdest du mir empfehlen zu tun , bsp. Soll ich mir was durchlesen?
Danke

-Wolfgang-

20:19 Uhr, 23.12.2015

Hallo,

Bei der Zylinderformel musst du ja nur die Zahlen einsetzen.

Was soll ich dir denn ausführlicher erklären?
Kannst du das Integral nicht ausrechnen?

Hast du allgemein Probleme mit der Integralrechnung?

W

Maria-Maus aktiv_icon

20:32 Uhr, 23.12.2015

Hi,
Bei der Integralrechnung kann ich stammfunktion bilden und (b)

- (a)

ausrechnen.
Aber das mit dem Volumen ist mir neu, vor allem Rotationskörper
Vg

-Wolfgang-

20:37 Uhr, 23.12.2015

Für die Berechnung musst du ja nur das Ergebnis des Integrals mit der Zahl

π

multiplizieren.

[

habe übrigens den Faktor

π

im Kontrollergebnis vergessen :-)]

Brauchst du eine Herleitung für die Integralformel des Volumens?

Dann kannst du dir das mal ansehen:

www.youtube.com/watch?v=BT8HwBpi2T0

W

Maria-Maus aktiv_icon

20:51 Uhr, 23.12.2015

Ja, bitte .
Also wie wird das Endergebnis geschrieben ?

-Wolfgang-

20:57 Uhr, 23.12.2015

das Endergebnis ist

V = 15 \cdot π \approx 47,124

Volumeneinheiten

Für die Herleitung der Formel siehst du am besten erst einmal das oben genannte Filmchen bei youtube an.

W

uwe39 aktiv_icon

11:52 Uhr, 24.12.2015

Hallo,Wolfgang,

kann es sein, dass die von Dir vorgegebene geometrische Formel für den Kreiszylinder einen Fehler enthält?

MfG

uwe39

Maria-Maus aktiv_icon

12:17 Uhr, 24.12.2015

Ich bedanke mich,
Zwei Fragen hätte ich noch.

Die erste Aufgabe war, dass ich mich in das Thema " Integral und Rauminhalt-Rotationskörper" einarbeiten soll.
Muss ich hier das Thema nur für mich verstehen, oder was müsste ich vor der Klasse erwähnen ?
Und wenn dies der Fall ist, welche Punkte müsste ich auf jeden Fall erwähnen ?
Habe im Internet was von nem Mittelwert gesehen, aber weiß nicht, ob ich's erwähnen muss, oder nicht ?

Die andere Frage war, inwiefern die Berechnung von Volumina mit Rotationskörpern im Alltag nützlich ist !

Ich wäre für Antworten echt froh, DANKE
Gruß
Maria

Roman-22

13:10 Uhr, 24.12.2015

Hallo Wolfgang!

Ich fürchte, dass du da zwei Fehler in deinem Ansatz hast.

Das Volumen, das bei Rotation einer Funktion

y = f (x)

im Intervall

[a; b]

entsteht, berechnet sich mit

π \cdot \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x

(du hast das Quadrat unterschlagen).
Hier also

V = π \cdot \int_{1}^{6} 3^{2} d x = π \cdot 9 \cdot x |_{1}^{6} = π \cdot 9 \cdot (6 - 1) = 45 π

.

Und anstelle der Formel für das Volumen eines Drehzylinders hast du dann jene für einen Drehkegel angeboten. Der Faktor

\frac{1}{3}

gehört daher weg.
Mit der Volumsformel für den Drehzylinder kommt man dann natürlich mit

r = 3

und

h = 5

auch auf das obige Ergebnis

V = π \cdot r^{2} \cdot h = π \cdot 3^{2} \cdot 5 = 45 π

.

Dir und allen Mitlesern ein Frohes Weihnachtsfest!

R

Maria-Maus aktiv_icon

20:09 Uhr, 25.12.2015

Danke euch,
Könnte jetzt jemand eventuell die Anwort von der Aufgabe richtig aufschreiben ?
Weiß nicht genau wo der Fehler war und kann's nicht mit der richtigen Schrittweisen beantworten.

Roman-22

21:26 Uhr, 25.12.2015

Ich verstehe deine Frage nicht.
Wenn du mit Fehler jene in Wolfgangs Antwort meinst, so habe ich doch deutlich geschrieben, worin sie bestanden. Was genau ist dir da noch unklar?

Und was das Beispiel anlangt - viel mehr, als das, was ich geschrieben hatte, ist da ja kaum noch dazu zu schreiben, oder?
Es gibt eine Formel, die ist allgemein angegeben, dann setzt man die konkrete Funktion

(y = 3)

und die konkreten Grenzen

(1; 6)

ein und rechnet aus.
Wo genau hast du da also noch Schwierigkeiten?

R

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