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Integralrechnung in Sachzusammenhang

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gas, Zeit

Kurosaki aktiv_icon

15:27 Uhr, 09.12.2010

Hola,

hab eine Hausaufgabe, wo ich ein bisschen Hilfe gebrauchen könnte.

Aufgabenstellung:

regelmäßiges dreiseitiges Prisma mit

h = 8m ; a = 4m

Anfangs befindet sich 40 m³ im Behälter.

Zu-/Abflussfunktion:

v(t) = t³ -10t² + 21t ; t Element aus [0; 6]

Zeit t in h (Stunden)

Volumen V in m³

a) max./min. Zuflussgeschwindigkeit

b) Inhalt V(3), V(6) und allgemein V(t)

c) Wann ist der Inhalt 50 m³

d) Wie hoch steht das Gas zwischen Zeit t (t= 0; 3; 6)?

Ansatz:

v(t) = t³ -10t² + 21t

v'(t) = 3t² -20t + 21

v''(t) = 6t -20

v'(t) = 0 solve mit TI liefert...

x1 = (-( $\sqrt{37}$ - 10 ) ) / 3 oder x2 = ( $\sqrt{37}$ + 10 ) / 3

f''(x1) = <0; => HP ( 1,303 | 12,6 )

f''(x2) = >0; => TP ( 5,361| - 20,74 )

Die Ableitung ist ja die Steigung eines Punktes, muss ich jetzt x1 und x2 in f'(x) einsetzen, um die maximale und minimale Geschwindigkeit zu bekommen?

Da kommen aber nicht so tolle Werte raus..

v(t) = t³ -10t² + 21t

$\int_{0}^{3} f (x) d x$ = 24,75

40 + 24,75 = V(3)

$\int_{6}^{0} f (x) d x$ = -18

40 - 18 = V(6)

$\int_{t 1}^{t 2} f (x) d x$ = V(t)

v(t) = t³ -10t² + 21t = 50

solve mit ti liefert t = 2,71868

Antwort: Der Inhalt beträgt bei t = 2,71868 50m³.

d) So hier bin ich fast komplett ratlos..

Denke das hat irgendwas mit dem Prima zu tun?

Wenn man die Werte in die Prismagleichung einsetzt:

V = a²/4 * h * $\sqrt{3}$

V= 4²/4 * 8 * $\sqrt{3}$

V =32 * $\sqrt{3}$ = 55,4256

Das Ergebnis ist ja dann gleich dem maximalen Volumen dieses Prismas.

Das heißt das Gas steht bei Höhe h = 8.

So, bei t=0 beträgt das Volumen 40 m³

Muss ich jetzt den Prozentanteil von 40 von 55,4256 ausrechnen und dann die Prozent mal die Höhe h = 8 um auf die Höhe im Prisma zum Zeitpunkt t = 0 zu kommen?

Hilfe..

Mit freundlichen Grüßen,

Kurosaki

QPhma aktiv_icon

23:18 Uhr, 10.12.2010

Hallo Kurosaki,

als erstes muss ich Dir leider sagen, dass Deine Aufgabe physikalisch völliger Blödsinn ist. Ein Gas füllt das Volumen des Gefäßes immer vollständig aus. Daher wirst Du zu allen Zeiten ein konstantes Volumen haben, nämlich das Volumen des Prismas, also

55,4 m^{3}

. Was sich ändert, wenn Gas nachgefüllt oder abgelassen wird, ist der Druck.

Um doch noch etwas sinnvolles aus der Aufgabe zu machen, denke Dir, dass es sich um eine Flüssigkeit, etwa Wasser, handelt, die im Behälter ist und die dann auch zu- oder abfließt.

a)

Deine Rechnung ist soweit richtig. Nur die letztendliche Antwort stimmt nicht. Die Funktion

v (t)

stellt die Zu-/Abflussgeschwindigkeit dar. Du musst also die gefundenen x-Positionen für HP und TP nicht in die erste Ableitung einsetzen, sondern in die Funktion selbst, um die maximale bzw. minimale Fließgeschwindigkeit rauszukriegen. Das hast Du aber schon gemacht. Das sind nämlich die y-Werte vom HP bzw. TP.

b)

Die Grenzen bei Deinen Integralen sind noch nicht so recht sinnvoll. Die untere Grenze gibt immer den Anfangszeitpunkt an, ab dem der Zufluss berechnet wird. Das muss in der Aufgabe immer

t = 0

sein, da das der Anfang des betrachteten Zeitintervalls ist und nur für diesen Zeitpunkt die Anfangsmenge Wasser im Behälter bekannt ist.
Die obere Grenze ist dann immer der Zeitpunkt, bis zu dem gerechnet werden soll. Die Zeitpunkte

t_{1}

und

t_{2}

in Deiner allgemeinen Volumenformel sind gar nicht definiert.
Die allgemeine Volumenformel muss heißen:

V (t) = V_{0} + \int_{0}^{t} v (x) d x = 40 + \int_{0}^{t} (x^{3} - 10 \cdot x^{2} + 21 \cdot x) \cdot d x

Das Integral kannst Du natürlich noch (als Formel) ausrechnen.

c)

Du benutzt die falsche Funktion. Nicht die Zuflussgeschwindigkeit soll

50

sein, sondern das Volumen. Du musst also die Lösungen für die Gleichung

V (t) = 50

suchen.

d)

Die Höhe des Wasserstands im Prisma ist variabel und die Grundfläche immer gleich. Indem Du die in Aufgabe

b)

berechnten Volumina durch die Grundfläche dividierst, bekommst Du die Höhen der Wasserstände zu den jeweiligen Zeiten.

Gruß

QPhma

Kurosaki aktiv_icon

12:25 Uhr, 11.12.2010

Morgen QPhma,

danke erstmal für deine Hilfe.

Ja, unser Lehrer sagte uns, dass es "flüssiges" Gas sei, also wie in ner Haarspraydose oder so, also praktisch wie Wasser sei.

zu a) Also wäre die maximale Zuflussgeschwindigkeit 12,6 m³/h?

Und wie sieht das jetzt mit der "minimalen"ZUflussgeschwindigkeit aus?

ist das die maximale ABflussgeschwindigkeit, sprich 20,74 m³/h?

b) 1. Aufgabe: Die ist doch richtig oder?

2. Ja da hab ich die beiden Grenzen vertauscht.., muss natürlich von 0 - 6 sein

3. Okay, deins sieht toller aus :D

c) also:

50 = 40 + $\int_{0}^{t} (t³ - 10 t² + 21 t) d t$

Solve mit TI gibt 2 Lösungen, der negative ist ja unsinnig, verleibt der 2., sprich

t = 1,2097

d) Ah okay, lol. Da wäre ich nie drauf gekommen...

Grundfläche Prisma: 4²/4 * $\sqrt{3}$ = 4 * $\sqrt{3}$

V(0) = 40 m³

40:(4 * $\sqrt{3}$ ) = 5,774

V(3) = 24,75 m³

24,75:(4 * $\sqrt{3}$ ) = 3,572

V(6) = 22 m³

22:(4 * $\sqrt{3}$ ) = 3,715

Antwort das Gas steht bei t = 0; 3; 6 auf einer Höhe von 5,774m; 3,572m; 3,715m.

Richtig?

Grüße,

Kurosaki

QPhma aktiv_icon

00:59 Uhr, 12.12.2010

Hallo Kurosaki,

zu

a)

die maximale Zuflussgeschwindigkeit beträgt

12,6 \frac{m^{3}}{h}

. Das ist richtig. Die minimale Zuflussgeschwindigkeit beträgt

- 20,74 \frac{m^{3}}{h}

. Da der Wert negativ ist, handelt es sich um einen Abfluss, und Du kannst völlig richtig eine maximale Abflussgeschwindigkeit von

+ 20,74 \frac{m^{3}}{h}

angeben.

Zu

b)

Ja,

b 1

war richtig. Das Ergebnis von

b 2

war auch richtig, nur die Formel nicht.

Zu

c)

Das ausgerechnete Integral ist ein Polynom 4. Grades in der Variablen

t

. Damit sollte man 4 Lösungen erwarten. O.

K,

es könnten Doppellösungen auftreten. Aber das ist hier nicht der Fall. Das Kurvendiskussionstool von OnlineMathe (über die Startseite zu erreichen) liefert auch wirklich 4 Lösungen:

- 0,8591; 1,2097; 4,5808

und

8,4019

. Die erst Lösung ist im Rahmen der Aufgabe nicht zutreffend. Die letzte Lösung sollte auch verworfen werden, da die Zu-/Abflussfunktion, auf der alles beruht, nur im Zeitintervall

[0; 6]

definiert ist. Es bleiben also zwei sinnvolle Lösungen.

Zu

d) V (0)

stimmt. Bei

V (3)

hast Du das Anfangsvolumen vergessen. Bei

V (6)

ist ein Zahlendreher drin;

V (3) = 3,175 m^{3}

.

Gruß

QPhma

Kurosaki aktiv_icon

10:28 Uhr, 12.12.2010

Morgen QPhma,

zu a) Könnte man also auch schreiben, dass die minimale Zuflussgeschwindigkeit -20,74 m³/h beträgt?

Falls ja, wäre das nach Aufgabenstellung ja sogar "richtiger" da nach der max./min. Zuflussgeschwindigkeit gefragt ist.

zu c) Ups, jetzt wo Du es erwähnt hast, hab ich's nochmal in meinen Taschenrechner eingegeben und ein paar "or"s entdeckt.., also ja meiner spuckt ebenfalls 4 Lösungen aus.

Also, wenn es zwei sinnvolle Lösungen gibt, sind beide auch für die Antwort von Aufgabe c) relevant, richtig?

zu d) Bei V(3) stimmt, aber jetzt hab ich's gerade neu gerechnet

64,75 : (4* $\sqrt{3}$ ) = 9,34576

Und das kann doch gar nicht sein, weil die maximale Höhe des Prismas 8m beträgt oder?

Bei V(6) oh. Stimmt, okay habs verbessert.

MfG,

Kurosaki

QPhma aktiv_icon

20:28 Uhr, 12.12.2010

Hallo Kurosaki,

bei

a)

ist es richtig, die minimale Zuflussgeschwindigkeit mit

- 24,74 \frac{m^{3}}{h}

anzugeben. Dass eine positive Abflussgeschwindigkeit gleich einer negativen Zuflussgeschwindigkeit ist, sollte selbstverständlich sein, so dass es egal ist, wie man die Lösung angibt.

Bei

c)

müssen beide Lösungen angegeben werden. In der Aufgabe ist ja nicht nur nach dem erstmaligen Erreichen eines Füllvolumens von

50 m^{3}

gefragt. Das ist generell so. Wenn es mehrere rechnerische Lösungen gibt, muss man alle angeben oder diskutieren, warum einige der Lösungen im Kontext der Aufgabenstellung nicht sinnvoll sind.

Mit der begrenzenden Höhe des Prismas hast Du recht. Darauf hatte ich gar nicht geachtet. Ich bin davon ausgegangen, dass die Aufgabe sinnvoll und ohne fiese Tricks gestellt ist.
In Deinem ersten Text hattest Du das Gesamtvolumen des Prismas schon mal ausgerechnet:

55,43 m^{3}

. Damit ist klar, dass

64,75 m^{3}

nicht reinpassen. Das Prisma wird überlaufen, wenn ein Füllvolumen von

55,43 m^{3}

erreicht ist. Damit sind dann auch alle Rechnungen für spätere Zeitpunkte falsch, da das Überlaufen ja einen zusätzlichen Abfluss darstellt, der in

v (t)

nicht berücksichtigt ist. Insbesondere ist der berechnete zweite Zeitpunkt für das Erreichen des Volumens

50 m^{3}

falsch.
Wenn Du davon ausgehen kannst, dass die Aufgabe wirklich so hinterhältig gemeint ist, dann gilt

V (3) = 55,43 m^{3}

und

h (3) = 8 m

. Ab dem Zeitpunkt

t = 3 h

wird der Zufluss negativ. D.

h

. das Gefäß läuft nicht weiter über, sondern mit einem neuen Anfangsvolumen

V (3)

kann man von diesem Zeitpunkt an den Abfluss integrieren und wieder für jede Zeit

t > 3 h

das Füllvolumen und die Füllhöhe berechen, sowie den Zeitpunkt, wo zum zweiten Mal

V = 50 m^{3}

erreicht wird.

Ich glaube aber eher, es handelt sich um einen Fehler in der Aufgabenstellung. Dann sollte es reichen, in der Lösung auf den Fehler hinzuweisen und ansonsten so zu rechnen, als wäre das Prisma höher als die erforderlichen

9,35 m

.

Gruß

QPhma

Kurosaki aktiv_icon

22:09 Uhr, 12.12.2010

Abend QPhma,

vielen, vielen Dank erstmal für deine tolle Hilfe!

Das mit der Aufgabe ich weiss ja nicht so recht.

Mein Lehrer meinte schon, dass sie es in sich hat^^

Haha, aber mal schauen, was er morgen dazu sagt :)

Danke nochmals!

Schönen Abend noch.

MfG,

Kurosaki

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