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Integration

Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe

Tags: Integration, lösen

pengu123 aktiv_icon

19:11 Uhr, 14.07.2010

Hallo,
ich muss ein referat über integration gebrochen rationaler Funktionen halten.
Jetz ist mir bewusst das man noch lange nicht alle Funktionen lösen kann. Also nicht zu jeder gebrochen rationalen Funktion eine Stammfunktion weis. Jetzt hat mein Lehrer gesagt ich kann das nicht selber behaupten sondern muss irgend einen Mathematiker zitieren der soetwas in der Art schonmal gesagt hat. Könnt ihr mir da bitte Helfen und mir ein Zitat eines Mathematikers nennen(am besten mit Internetquelle oder so)??

Vielen Dank im Vorraus
mfg
PenGu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

hagman aktiv_icon

10:42 Uhr, 16.07.2010

Eigentlich geht das mit dem Intergrieren durchaus immer
Gegeben

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

.
Durch Partialbruchzerlegung gelangt man auf Summanden der Form

\frac{a}{{(x - b)}^{k}},

wobei

b

eine (ggf. komplexe) Nullstelle von

Q

ist, ggf. noch ein einfaches Polynom als weiterer Summand.
Diese Summanden lassen sich jeweils leicht integrieren.

Das einzige Problem ist, dass die Nullstellen von

Q

im allgemeinen nicht elementar zu finden sind (zum Beispiel als Wurzelausdrücke), sobald

Q

den grad 5 oder höher hat. Das wäre ein Resultat der Galoistheorie, man könnte Galois und Abel zitieren. Allerdings ist Galoistheorie kaum auch nur Ansatzweise mit Schulstoff zu betreiben

pengu123 aktiv_icon

17:26 Uhr, 16.07.2010

ich mein auch die funktionen die im nenner oder so wurzenl usw haben und nicht durch substitution oder partialbruchzelegung oder partielle integration lösbar sind.
hat dieser Galois ein zitat in dem er sagt das nicht alle Funktionen integrierbar sind???

Kosekans aktiv_icon

14:34 Uhr, 17.07.2010

Hallo,

ich würde mich auf das Thema beschränken:

"Ich muss ein Referat über Integration gebrochen rationaler Funktionen halten."

1)

Das heißt für mich, du sollst dich mit den Methoden des Integrierens auseinander setzen, das setzt voraus, dass du nur Funktionen betrachtest, die integrierbar sind ;-).

2)

Gebrochen RATIONALE Funktionen haben keine Wurzeln!

3)

Verliere dich beim Referieren (ich setze jetzt mal höchstens

30 - 45

Minuten Redezeit an) nicht in Beispielen die mit elementaren Methoden nicht oder fast nicht mehr lösbar sind. Referate sind letztendlich auch dazu da, den Hörern das Thema nachvollziehbar zu erklären. Dies kann sehr leicht misslingen, wenn die Beispiele zu kompliziert sind.
Ich würde die Partialbruchzerlegung anhand eines Beispiels erklären, das du zeitlich schaffst, dem die Zuhörer folgen können und das die meisten Eventualitäten (Bruch

+ ln +

arctan) abdeckt.

Habs jetzt nicht durchgerechnet, aber vom Ergebnis her könnte man vielleicht

\frac{x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{x^{5} + 2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x}

probieren.

Dass das Faktorisieren der Nennerpolynome für die Partialbruchzerlegung im allgemeinen Fall eine irrsinnige Rechnerei ist, oder gar unmöglich, kannst du ja mit ein, zwei Sätzen erwähnen, mehr nicht. Hier mit Galois anzufangen, schießt weit übers Ziel hinaus :-)

pengu123 aktiv_icon

20:49 Uhr, 17.07.2010

Hui also erstmal vielen Dank für deine Antwort :-)
hab das jetz mal durchgerechnet hab nur keinen Plan ob das stimmt..

\frac{x 4 - x 3 - 2 x 2 - x + 1}{x 5 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}

+(Dx+F)/(x^2

+ 1)

Also Nullstellen:

x 1 = 0; x 2,3 = - 1;

und dann noch nen Term wo es keine NST gibt.

habe dann ausgerechnet für

A = 1; B = 0

(kann das sein??); für

C = - 1;

für

D = 0

??; für

F = - 2

also

\int \frac{1}{x} - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} - \int \frac{2}{x^{2} + 1} = ln | x | + \frac{1}{x + 1} - 2

arctan(x)

+ C

stimmt das soweit? xD

also das heisst alle gebrochen rationale Funktionen sind integrierbar?
wenn ne Wurzel im Nenner oder Zähler ist sind es keine rationalen Funktionen oder wie?

Vielen Dank im vorraus.

anonymous

21:43 Uhr, 17.07.2010

Es muss

- 2

arctan(x) sein und nicht

+ 2

artan(x) bei der Integrallösung !

pengu123 aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.07.2010

jop hast natürlich recht...
aber sonnst stimmts oder wie?

anonymous

22:33 Uhr, 17.07.2010

Ja soweit ich das sehe stimmt das Ergebniss schon .

pengu123 aktiv_icon

21:18 Uhr, 18.07.2010

so kann sich jetz bitte noch irgendwer zu den letzten Fragen äussern? ;-)
also das heisst alle gebrochen rationale Funktionen sind integrierbar?
wenn ne Wurzel im Nenner oder Zähler ist sind es keine rationalen Funktionen oder wie?

Kosekans aktiv_icon

22:12 Uhr, 18.07.2010

Wenn die Variable im Zähler oder Nenner unter einer Wurzel steht, ist es keine gebrochen rationale Funktion.

Alle gebrochen-rationalen Funktionen sind in ihrem maximalen Definitionsbereich riemann-integrierbar.
Dass man für jede beliebige gebrochen-rationale Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form finden kann, würde ich jetzt nicht unterschreiben, bin mir aber nicht sicher.

Würde das Ganze gern noch etwas ausführlicher schreiben, muss jetzt aber los

. .

. bis nächste Woche und gutes Gelingen beim Referat.

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