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Integration - Substitution - Wann welche Regel?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration - Substitution - Wann welche Regel?

mi---

18:05 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

ich kämpfe ein bisschen mit Integration durch Substitution, genauer damit, wann das anzuwenden ist.

Ich weiß, dass diese Aufgabe so gelöst wird:

\int \frac{1}{x} = l n (∣ x ∣)

Das ist ein Standardintegral.
Hier geht es so:

\int \frac{1}{x + 3}

wird substituiert mit z = x+3 und heraus kommt

l n (∣ x + 3 ∣)

Aber nun die Aufgabe:

\int \frac{1}{x^{2}}

hier muss man das Quadrat "hervorziehen" via

\int x^{- 2}

und dann weitermachen.
Warum kann man nicht substituieren? Also

z = x^{2}

und dann

l n (∣ z ∣) = l n (∣ x^{2} ∣)

Die Lösung ist falsch, aber weshalb?

Viele Grüße

Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:27 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

wer so "substituiert", der hat die Substitution in einem entscheidenden Punkt nicht verstanden: Du berücksichtigst das Differential

d x

nicht.
Wie könntest du auch, du schreibst es ja nicht einmal hin!
Kann es sein, dass du die Integralrechnung auch nicht grundlegend verstanden hast?
Wozu dient denn das Differential?

Mfg Michael

mi---

20:22 Uhr, 26.06.2019

Wow.
Bei uns stellt in Übungen niemand Fragen, weil die Antworten in diesem Stil ausfallen.
Aber offensichtlich beschäftige ich mich ja mit dem Thema.

Also ich korrigiere:

ich kämpfe ein bisschen mit Integration durch Substitution, genauer damit, wann das anzuwenden ist.

Ich weiß, dass diese Aufgabe so gelöst wird:

\int \frac{1}{x} d x = l n (∣ x ∣)

Das ist ein Standardintegral.
Hier geht es so:

\int \frac{1}{x + 3} d x

wird mit Substitution gelöst:

z = x + 3, \frac{d z}{d x} = 1 \to \int \frac{1}{z} d z = l n (∣ z ∣)

nach Rücksubst.

l n (∣ x + 3 ∣)

Aber nun die Aufgabe:

\int \frac{1}{x^{2}} d x

hier muss man das Quadrat "hervorziehen" via

\int x^{- 2} d x

und dann weitermachen.
Warum kann man nicht substituieren? Also

z = x^{2}

und dann

l n (∣ z ∣) = l n (∣ x^{2} ∣)

Die Lösung ist falsch, aber weshalb?

Das Differential ist die Veränderung auf der y-Achse, wenn man auf der x-Achse nach rechts geht.
Viele Grüße

Michael

michaL aktiv_icon

21:50 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

> Bei uns stellt in Übungen niemand Fragen, weil die Antworten in diesem Stil ausfallen.
Dazu Sesamstraße: Wer nicht fragt, bleibt dumm!

Offenbar hast du noch immer nicht verstanden, was es mit dem Differential auf sich hat. Die Sätze (und Beweise) in den Vorlesungen geben immer den richtigen Hinweis darauf.

Hast du

\int (f (x)) d x

zu berechnen und substituierst

x = φ (z)

mit differenzierbarer Funktion

φ

, so ergibt sich (die Integrationsgrenzen außer acht lassend)

\int (f (φ (z)) \cdot φ ʹ (z)) d z

.
(Sicher kennst du einen entsprechenden Satz aus der Vorlesung?!)

Daraus wird ersichtlich, dass man eben NICHT nur die Variable/den Term per Substitution ersetzen kann. Vielmehr muss man die Ableitung der Substitution ins Differential einfließen lassen:

x = φ (z) \Rightarrow d x = φ ʹ (z) \cdot d z

.

Dass man dies (nur augenscheinlich) nicht zu machen braucht, liegt im ersten Beispiel daran, dass

φ ʹ \equiv 1

(

\overset{}{\Leftrightarrow} d x = d z

) gilt.
Im zweiten Beispiel ist das nicht der Fall:

z = x^{2}

bzw.

x = \sqrt{z} \Rightarrow d x = \frac{1}{2 \sqrt{z}} d z

Damit machst du aus dem einfachen Integral

\int x^{- 2} d x

das folgende:

\int \frac{1}{2} \frac{1}{z \sqrt{z}} d z

. Meines Erachtens auch nicht der korrekte Schritt.
(BTW.

\int x^{α} d x

sollte man für alle

α

, wenigstens aber für

α \neq - 1

direkt angeben können!)

> Das Differential ist die Veränderung auf der y-Achse, wenn man auf der x-Achse nach rechts geht.
Ich finde, dass da noch viel mehr dahinter steckt. Außerdem finde ich die Formulierung fragwürdig.

Es tut mir leid, wenn du dich angegriffen fühlst. Ist nicht meine Absicht. Aber: die Wahrheit kann schon weh tun.
Ich bin sicher, du fährst auf Dauer besser, Fragen zu stellen. Setzt aber voraus, dass du im Vorfeld versuchst, deine Lücken zu schließen.
Sicher kennst du die Aussage, Mathematiker seien faul.
Zumindest sind sie schreib- und redefaul. Nicht mehr als (in ihren Augen) unbedingt nötig. Dieses Level musst du zu erreichen versuchen. Und ja, das ist vermutlich nicht einfach. Aber du hast dich ja aus freien Stücken für ein Studium mit offenbar nicht trivialem Mathematikanteil entschieden. :-)

Mfg Michael

HAL9000

22:19 Uhr, 26.06.2019

Leider sieht man diesen "unvollständigen" Substitutions-Pfusch ständig in den Foren. Irgendwas scheint da an den Schulen schief zu laufen wenn so viele meinen, das auf diese Weise durchführen zu können. Mit ein bisschen Mitdenken sollte eigentlich völlig klar sein, dass es so nicht geht:

Ansonsten könnte man nämlich sagen, dass man bei

\int f (x) d x

grundsätzlich

u = f (x)

substituiert, mit Ergebnis

\int f (x) d x \overset{?}{=} \int u d u = \frac{u^{2}}{2} = \frac{(f (x))^{2}}{2}

.

Dass das himmelschreiender Blödsinn ist, sollte wohl jedem aufgehen, z.B. per Kontroll-Differenzieren.

{[\frac{(f (x))^{2}}{2}]}^{'} = \frac{2 f (x)}{2} \cdot f' (x) = f (x) f' (x)

statt des erwarteten

f (x)

mi---

12:51 Uhr, 27.06.2019

Hallo,

ich danke Euch sehr für Eure Antworten.
In der Tat habe ich mich gewundert, warum man dann die Substitution nicht viel häufiger einsetzt.
So kam ich auch in diese Richtung.
-----

\int \frac{1}{x^{2}} d x

ergäbe beim obigen Substitutionsversuch mit

z = x^{2}, \frac{d z}{d x} = 2 x

mithin

\int \frac{1}{z} \frac{d z}{2 x}

was natürlich nicht zielführend wäre, weil das x immer noch in der Gleichung ist.

Damit habe ich nun einen neuen Ansatz. Ich werde spätestens am Wochenende Zeit finden, mich weiter damit zu befassen.

Tatsächlich mag ich mein Studium und auch die damit verbundene Mathematik sehr. Nur ist mein mathematisches Talent nicht mein größtes und ich brauche daher mehr Zeit und Energie, um mir den Stoff zu erarbeiten.

Grüße

Michael

michaL aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.06.2019

Hallo,

es ist nicht das Problem, dass man die zu substituierende Variable nicht vollständig eliminieren kann.

In dem von dir angeführten Fall (eigentlich kann man immer so arbeiten) geht das wie folgt:

\int \frac{1}{x^{2}} d x \overset{z = x^{2} \Rightarrow x = \sqrt{z} \Rightarrow d x = \frac{d z}{2 \sqrt{x}}}{=} \int \frac{d z}{2 z \sqrt{z}} = \frac{1}{2} \int z^{- \frac{3}{2}} d z

Mfg Michael

mi---

15:08 Uhr, 30.06.2019

Vielen Dank, michaL und HAL9000.

Ich beschäftige mich weiter mit diesem Thema und Ihr habt mir auf den richtigen Weg geholfen.

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