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Integration - Transformation in Kugelkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kugelkoordinaten, Transformationsformel

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22:26 Uhr, 30.11.2015

Hallo,

es geht um Folgende Aufgabe:

"Berechnen Sie

\int_{Ω} \frac{x^{2}}{x^{2} + z^{2}} d x d y d z

,

wobei

Ω

definiert ist als

Ω := {(x, y, z) \in ℝ^{3} : 1 < x^{2} + y^{2} + z^{2} < 2, x^{2} - y^{2} + z^{2} < 0, y > 0}

Hinweis: Benutzen Sie Kugelkoordinaten"

Meine Ideen:

Dem Hinweis folgend wähle ich also

φ^{- 1} (ρ, θ, α) := (ρ s i n (α) c o s (θ), ρ s i n (α) s i n (θ), ρ c o s (α))

Dann kann ich mit

\int_{Ω} f (x, y, z) d x d y d z = \int_{D} f (φ^{- 1} (ρ, θ, α)) * ∣ d e t D φ^{- 1} (ρ, θ, α) ∣ d ρ d θ d α

, das Integral berechnen.

Dabei integriere ich jeweils über

θ

von 0 bis

2 π

und

α

von 0 bis

π

. Leider weiß ich nicht, wie ich die Integralgrenzen für den Radius

ρ

wählen muss, da dieser ja von

y^{2}

abhängt (Siehe Definition von

Ω : x^{2} + z^{2} < y^{2}

).

Ich habe mal versucht, den Definitionsbereich aufzuzeichnen, um es mit besser vorstellen zu können. Demnach habe ich ja durch die erste Bedingung

1 < x^{2} + y^{2} + z^{2} < 2

eine Kugel mit Radius

\sqrt{2}

ohne die Innere Kugel mit Radius 1. Die Bedingung

x^{2} + z^{2} < y^{2}

bewirkt dann, dass ich die Kugel zusätzlich auf eine Art Tränenform um die y-Achse herum beschränke (hoffe, man kann sich das Vorstellen :-D)). Leider hat mir das bis jetzt nicht viel geholfen.

Wie bestimme ich also die Integralgrenzen für

ρ

?

Danke schon mal im Voraus :-)

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