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Integration durch Partialbruchzerlegung

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Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

Lisaa97 aktiv_icon

09:17 Uhr, 11.09.2019

Nachstehendes Integral soll durch Partialbruchzerlegung gelöst werden.

\int \frac{x + 1}{x {(x - 1)}^{3}}

Durch das

x

vor der Klammer ist die erste Nullstelle

x_{1} = 0

. Dann habe ich die Klammer aufgelöst:

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

und durch ausprobieren eine weitere Nullstelle herausgefunden

x_{2} = 1

. Danach habe ich die Polynomdivision angewendet, um die restlichen zwei Nullstellen zu berechnen.

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 : (x - 1) = x^{2} - 2 x + 1

Nach der PQ-Formel habe ich dann

1 \pm 0

raus. Und damit hätte ich insgesamt nur zwei Nullstellen?!?! Jetzt weiß ich nicht was ich falsch gemacht habe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

09:23 Uhr, 11.09.2019

x = 1

ist eine Dreifachnullstelle.

Ansatz:

. .

= \frac{...}{x} + \frac{...}{x - 1} + \frac{...}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{...}{{(x - 1)}^{3}}

Lisaa97 aktiv_icon

09:31 Uhr, 11.09.2019

Okay

Lisaa97 aktiv_icon

09:49 Uhr, 11.09.2019

Phuuu... jetzt bin ich beim Koeffizientenvergleich angekommen und möchte das LGS lösen. Bin mir aber auch etwas unsicher ob es bis hierher richtig ist, da ich es sehr umständlich gerechnet habe.

1) A + B + C + D = 0

2) - A - 2 B - 2 C - 2 D = 0

3) 4 A + 2 B + 2 C + 2 D = 1

4) - 2 A + 2 B + 2 C = 1

Respon

10:00 Uhr, 11.09.2019

Dein Gleichungssystem hat keine Lösung.

Lisaa97 aktiv_icon

10:08 Uhr, 11.09.2019

Schade! Also ich muss doch nur die Nenner mit den Zählern multiplizieren und dann ausklammern:

z . B . : \frac{a}{x} = \frac{A (x - 1) {(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}{x (x - 1) {(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{3}}

und genauso mit

B, C

und D. Danach nach den Exponenten sortieren, zusammenfassen und die LGS aufstellen. Oder wie würdest du das Lösen?

Respon

10:09 Uhr, 11.09.2019

Wie sieht denn dein Ansatz ( mit den entsprechenen Zählern ) aus ?

rundblick aktiv_icon

10:10 Uhr, 11.09.2019

.
"Phuuu... jetzt bin ich beim Koeffizientenvergleich angekommen und möchte das LGS lösen. "

Phuuu... wie bist du denn auf

d i e s e s

LGS gekommen ?

oh -sorry Respon - da du leider immer noch nicht grün bist .. :-)
habe ich nicht rechtzeitig gesehen, dass du noch zur Stelle bist ..

: - (

Lisaa97 aktiv_icon

10:27 Uhr, 11.09.2019

Also jetzt nur die Zähler:

A (x - 1) {(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} + B \cdot x {(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} + C \cdot x (x - 1) {(x - 1)}^{3} + D \cdot x (x - 1) {(x - 1)}^{2}

Die Nenner sind ja alle die gleichen. Obwohl ich mich auch Frage das die Nenner falsch sind, da sie ja nicht mehr gleich der Aufgabenstellung, sprich:

x {(x - 1)}^{3}

sind

Respon

10:37 Uhr, 11.09.2019

Du hast falsch erweitert.

Lisaa97 aktiv_icon

10:42 Uhr, 11.09.2019

Wie wäre es denn richtig?

Respon

10:44 Uhr, 11.09.2019

Du erweiterst:
1. Bruch mit

{(x - 1)}^{3}

2. Bruch mit

x \cdot {(x - 1)}^{2}

3: Bruch mit

x \cdot (x - 1)

4. Bruch mit

x

HAL9000

10:44 Uhr, 11.09.2019

@Lisa97

Dein Konstrukt

x (x - 1) (x - 1)^{2} (x - 1)^{3}

ist ja furchterregend. Man multipliziert den Partialbruchansatz mit dem Nenner des Originalterms

x (x - 1)^{3}

, NICHT mit dem Produkt der Nenner der einzelnen Partialbruchansatzsummanden!!! D.h., aus

\frac{x + 1}{x (x - 1)^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^{2}} + \frac{D}{(x - 1)^{3}}

wird nach dieser Multiplikation mit anschließendem Kürzen

x + 1 = A (x - 1)^{3} + B x (x - 1)^{2} + C x (x - 1) + D x

.

EDIT: Da geht es mir wie rundblick - man sieht einfach nicht, dass Respon online ist.

Respon

10:48 Uhr, 11.09.2019

Du bekommst dann folgendes LGS:

A + B = 0

- 3 \cdot A - 2 \cdot B + C = 0

3 \cdot A + B - C + D = 1

- A = 1

mit den Lösungen

A = - 1

B = 1

C = - 1

D = 2

Lisaa97 aktiv_icon

10:49 Uhr, 11.09.2019

Alles klar. Ich hatte mir Lernvideos zum Thema Partialbruchzerlegung angeguckt - Dort wurde es so erklärt. Gut, dann weiß ich es ja jetzt dank euch besser. Probiere es gleich mal aus. Danke

Lisaa97 aktiv_icon

10:50 Uhr, 11.09.2019

Alles klar. Ich hatte mir Lernvideos zum Thema Partialbruchzerlegung angeguckt - Dort wurde es so erklärt. Gut, dann weiß ich es ja jetzt dank euch besser. Probiere es gleich mal aus. Danke

Respon

10:51 Uhr, 11.09.2019

Man sieht doch, dass ich online bin !

Lisaa97 aktiv_icon

10:53 Uhr, 11.09.2019

@respon: Nein, man sieht leider nicht das du online bist

Respon

10:54 Uhr, 11.09.2019

Neben meinem Namen ist ein grüner Punkt !

HAL9000

10:54 Uhr, 11.09.2019

> Man sieht doch, dass ich online bin !

Ich weiß nicht, wer dieser "Man" ist - ich sehe es jedenfalls nicht, genausowenig wie rundblick:

> da du leider immer noch nicht grün bist .. :-) habe ich nicht rechtzeitig gesehen, dass du noch zur Stelle bist

> Neben meinem Namen ist ein grüner Punkt !

Nein. Es ist gar kein Punkt zu sehen, weder grau noch grün.

Respon

10:56 Uhr, 11.09.2019

siehe

HAL9000

11:01 Uhr, 11.09.2019

Tja, den sehe ich nicht, Scan hin oder her.

Da ich bei Lisaa97 den grünen Punkt sehe, kann es auch schwerlich an meinen Browser- oder sonstigen Einstellungen meinerseits liegen - ich sehe das Problem klar bei deiner Konfiguration: Liegt vermutlich daran, dass bei dir in

www.onlinemathe.de/user/privacy

die Einstellung von "Wer darf meinen Online-Status sehen?" nicht "Alle" ist.

Respon

11:07 Uhr, 11.09.2019

Aha, werde ich mir mal ansehen.
Hauptsache, das Beispiel ist gelöst und abgehakt.

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