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Integration durch Substitution, Aufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integration, Substitution

Namenlos08 aktiv_icon

16:25 Uhr, 06.12.2009

Hallo,

ich hab eine etwas schwierigere Aufgabe (für mich) die ich auf anhieb nicht lösen kann. Ich soll sie durch Substitution lösen, und sie lautet:

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{4}}}

Hat vielleicht was mit dem Additionstheorem zu tun, komme aber grade nicht drauf wie ich bzw was ich substituieren soll.
Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?

Danke & Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bull88 aktiv_icon

16:41 Uhr, 06.12.2009

Substutuier doch mal x^2=Sin(u) und schau was passiert.

Namenlos08 aktiv_icon

16:50 Uhr, 06.12.2009

Gut, dann würde ich für dx=cos(u)*du einsetzen und würde folgendes stehen habe:

\int \frac{x}{\sqrt{1 - {sin (u)}^{2}}} \cdot cos (u) \cdot

\int \frac{x}{cos (u)} \cdot cos (u) \cdot

(cos

kürzen)

\int x

du

hmm muss ich vielleicht das

x^{2} = sin (u)

nach

x

umformen?

Bull88 aktiv_icon

17:14 Uhr, 06.12.2009

Du hast in deiner Rechnung x=Sin(u) substituiert. So kommst du nicht weiter. Wenn du x^2=Sin(u) substituierts, bekommst du nach dem Ableiten der Substitution: 2x*dx=Cos(u)*du. Aufgelöst nach

d x :

dx=(Cos(u)/2x)*du. So sollte die Aufgabe lösbar sein.

Namenlos08 aktiv_icon

17:29 Uhr, 06.12.2009

Ah okay. Dann kürzen sich die

2 x

und die

2 cos (u),

übrig bleibt

\frac{1}{2}

und das integriert ergibt

\frac{1}{2} \cdot u + c,

für die Rücksubstitution forme ich dann

x^{2} = sin (u)

nach

u

um und erhalte u=arcsin(x^2). Mein Integral ist also

F (x) = \frac{1}{2}

arcsin(x^2).
Kannst du mir vielleicht auch noch kurz erklären wie ich

x^{2} = sin (u)

für die Substitution richtig ableite? Wir machen das immer mit dx/du=... aber in dem fall ist es ja ein

x^{2}

und kein normales

x,

wenn du verstehst was ich meine :-D)

Und vielen dank

Bull88 aktiv_icon

18:15 Uhr, 06.12.2009

Genau, so ist es richtig. Zu deiner Frage: Wenn du

u = f (x)

substituierts, dann ist du=f'(x)*dx ->dx=du/f'(x)

hier substituieren wir aber

f (u) = f (x)

. Wenn du nun auf beiden seiten ableitest bekommst du f'(u)*du=f'(x)*dx.
also ist dx=(f'(u)*du)/f'(x)

Du siehst, dass deine Rechnung nur ein spezialfall dieser Methode ist. Setzt du nämlich

f (u) = u

dann ist

f' (u) = 1

und du bekommst wieder dx=du/f'(x).

Kochbuchmässig bedeutet dies:

Substitiueren:

f (u) = f (x)

Ableiten und entsprechendes Integrationselement dahinter schreiben: f'(u)*du=f'(x)*dx
nach

d x

auflösen: dx=(f'(u)/f'(x))*du

In userem beispiel: Sin(u)=x^2
cos(u)*du=2x*dx
dx=(cos(u)/2x)*du

Streng mathematisch ist diese Erklärung zwar nicht, aber das stört an dieser stelle niemanden.

Hoffe du hasts verstanden, sonst einfach wieder melden

Gruss

Namenlos08 aktiv_icon

18:23 Uhr, 06.12.2009

Ah okay alles klar.
Vielen dank für deine Mühe! :-D)

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