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Integration durch Substitution
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Integration, Substitution
 
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Hallo Freunde, ich stehe relativ kurz vor einer Mathe-LK Klausur und ich muss Themen aus den letzten Monaten durcharbeiten. Dabei bin ich auf Integration durch Substitution gestoßen. Kann mir jemand erklären wie das geht? Ich hab das irgendwie garnicht verstanden... =( |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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hi, beim integrieren geht es im Grund darum eine Fläche zwischen zwei Kurven zu bestimmen(z.B. Kurve und x-Achse). Die Stammfunktion F(x) ist dabei die integrierte Funktion f(x). Allgemein integrieren: f(x) = a*x^n F(x) = a*1/(n+1) * x^(n+1) Wenn es jetzt wirklich daran geht die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse zu berechen, müssen zuerst die Schnittstellen der Kurve mit der x-Achse bestimmt werden, dass sind dann die Integrationsgrenzen. dann wird integriert nach der Formel Integral über a bis b von f(x) dx = [F(x)] über a bis b = F(b) - F(a) Aber am Besten zum Erklären wäre es, wenn man ein Beispiel hätte. Hoffe konnte erstmal helfen. Gruß |
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Ja Danke, das war schonmal nicht schlecht, aber bei meiner Frage ging es um die Methode der Substitution. Ein Beispiel wäre f(x)=4x*e^-x² |
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Hallo ChiefMendez, die Substitution ist ein Verfahren, mit dem Du komplexe Integrale lösen kannst. Die grundsätzliche Idee besteht darin Terme innerhalb des Integrals so geschickt zu ersetzen (substituieren), dass sich ein neues Integral ergibt, dass sehr viel einfacher lösbar ist: Ich greife einmal Dein Beispiel auf: Int 4x*e^-x² dx Ersetzt Du u(x):= e^(-x²) läuft das Verfahren wie folgt ab: Zunächst muss dx bestimmt werden. Bilde dazu die Ableitung du/dx und löse nach dx auf: du/dx = -2x*e^(-x²) dx = du/-2x*e^(-x²) Ersetze jetzt dx durch du/ -2x*e^(-x²): Int 4x*e^-x²/-2x*e^(-x²) du Du siehst an dieser Stelle den unmittelbaren Vorteil der Substitution. Die Eulersche Zahl und sogar das x kürzen sich komplett weg und es bleibt das neue, triviale Integral int -2 du stehen. Die Stammfunktion ist dann -2*u. Jetzt musst Du nur noch zurücksubstituieren und erhälst als Lösung Int 4x*e^-x² dx = -2*e^(-x²)+C Es geht also immer darum sich zu überlegen, welche Teile des Integrals wie ersetzt werden sollen. Dafür gibt es leider keine Regel und man muss durch Übung einen Blick dafür bekommen, welche Ersetzung besonders geschickt ist. Denke daran, dass "dx" immer durch den Kehrwert der Ableitung du/dx ersetzt wird, d.h wähle u so, dass durch den Kehrwert der Ableitung du/dx das Integral vereinfacht wird. |
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